На каком расстоянии необходимо поместить заряд, чтобы он был в равновесии

[Annet]

Точечные заряды q₁ = +10,4∙10^–8 Кл и q₂ = –2,4∙10^–8 Кл находятся на расстоянии 20 см друг от друга. На каком расстоянии от второго заряда необходимо поместить произвольный заряд q₃, чтобы он был в равновесии?

[alsak]

Пусть заряд q₁ лежит в точке А, q₂ в точке В. Заряд q₃ будет находится в равновесии, если равнодействующая всех сил, действующих на него, будет равно нулю. Очевидно, что это возможно только в той точке, в которой силы, действующие на заряд, равны по модулю и противоположны по направлению. Это не возможно в точке N (рис. 1), которая не лежит на прямой, проходящей через заряды, т.к. силы направлены под углом; не возможна в любой точке прямой AB между q₁ и q₂ (в точке С), т.к. силы направлены в одну сторону. В любой точке L на прямой левее q₁ равнодействующая также не равна нулю, т.к. сила, действующая со стороны заряда q₁, будет всегда больше силы, действующая со стороны заряда q₂ (|q₁| > |q₂|, LA < LB).
Таким образом, мы приходим к выводу, что искомая точка лежит на прямой, проходящей через данные заряды, правее заряда q₂ (в точке D) (рис. 2). Так как   где F_DA, F_DB — силы электростатического взаимодействия (кулоновские силы), действующие на заряд q₃ (точка D) со стороны заряда q₁ (точка А) и q₂ (точка В),
\[F_{DA} =k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{3} \right|}{DA^{2} } ,\, \, \, F_{DB} =k\cdot \frac{\left|q_{2} \right|\cdot \left|q_{3} \right|}{DB^{2} } ,\]
т.к. заряды точечные (по умолчанию), где DA = АВ + DB, AB = 20 см. Тогда
\[\begin{array}{c} {F_{DA} =F_{DB} ,\, \, \, k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{3} \right|}{DA^{2} } =k\cdot \frac{\left|q_{2} \right|\cdot \left|q_{3} \right|}{DB^{2} } ,\, \, \, \frac{\left|q_{1} \right|}{DA^{2} } =\frac{\left|q_{2} \right|}{DB^{2} } ,\, \, \, \, \frac{\left|q_{1} \right|}{\left(AB+DB\right)^{2} } =\frac{\left|q_{2} \right|}{DB^{2} } ,} \\ {\left|q_{2} \right|\cdot AB^{2} +2\cdot \left|q_{2} \right|\cdot AB\cdot DB+\left|q_{2} \right|\cdot DB^{2} =\left|q_{1} \right|\cdot DB^{2} ,\, } \\ {\left(\left|q_{1} \right|-\left|q_{2} \right|\right)\cdot DB^{2} -2\cdot \left|q_{2} \right|\cdot AB\cdot DB-\left|q_{2} \right|\cdot AB^{2} =0.} \end{array},\]
Получили квадратное уравнение относительно DB, корни которого
\[\begin{array}{c} {DB=\frac{\left|q_{2} \right|\cdot AB\pm \sqrt{\left(\left|q_{2} \right|\cdot AB\right)^{2} +\left|q_{2} \right|\cdot AB^{2} \cdot \left(\left|q_{1} \right|-\left|q_{2} \right|\right)} }{\left|q_{1} \right|-\left|q_{2} \right|} =} \\ {=\frac{\left|q_{2} \right|\cdot AB\pm \sqrt{AB^{2} \cdot \left|q_{2} \right|\cdot \left|q_{1} \right|} }{\left|q_{1} \right|-\left|q_{2} \right|} =\frac{\left|q_{2} \right|\pm \sqrt{\left|q_{2} \right|\cdot \left|q_{1} \right|} }{\left|q_{1} \right|-\left|q_{2} \right|} \cdot AB,} \end{array}\]
DB₁ = 18,5 см или DB₂ = –6,5 см (но отрицательное значение не подходит, т.к. точка D лежит правее точки В). Следовательно, заряд q₃ надо поместить в точку, которая лежит на прямой, проходящей через данные заряды, правее на 18,5 см заряда q₂.