В10. Вариант 1.
В однородном магнитном поле, модуль индукции которого B = 0,20 Тл, находятся два длинных вертикальных проводника, расположенных в плоскости, перпендикулярным линиям индукции (см. рис.). Расстояние между проводниками l = 15 см, проводники в верхней части подключены к катушке, индуктивность которой L = 0,90 мГн. По проводникам может скользить без трения горизонтальный проводящий стержень массой m = 21 г. Если электрическое сопротивление всех элементов пренебрежимо мало, то из состояния покоя стержень может сместиться вниз на максимальное расстояние Δh, равное ... см.
В10. Вариант 2.
В однородном магнитном поле, модуль индукции которого B = 0,40 Тл, находятся два длинных вертикальных проводника, расположенных в плоскости, перпендикулярным линиям индукции (см. рис.). Расстояние между проводниками l = 10 см. Проводники в верхней части подключены к катушке, индуктивность которой L = 2,0 мГн. По проводникам может скользить без трения горизонтальный проводящий стержень массой m = 14 г. Если электрическое сопротивление всех элементов пренебрежимо мало, то из состояния покоя стержень может сместиться вниз на максимальное расстояние Δh, равное ... см.
Решение дано по аналогии задачи № 14-3 «Перемычка на рельсах» из книги Слободянюк А.И. Сборник задач по физике. Очень длинные физические задачи: Пособие. — Мн.: БГУ, 2001. — С. 130-136, только постоянную силу F поменяли на постоянную силу m∙g.
Решение. При движении стержня площадь контура, образованного самим стержнем, вертикальными проводниками и катушкой изменяется, следовательно, изменяется магнитный поток через этот контур, поэтому в контуре возникает ЭДС индукции, которая приводит к появлению электрического тока и на перемычку начинает действовать сила Ампера. По правилу Ленца действие магнитного поля таково, что оно препятствует каким либо изменениям в системе (в данном случае изменению магнитного потока и площади контура). Следовательно, сила Ампера направлена вверх (в сторону, противоположную скорости стержня). Запишем эти рассуждения на языке формул физических законов. Так как мы оговорили направление возникающей силы, все формулы будем записывать «по модулю».
Рассмотрим малый промежуток времени Δt, за который стержень пройдет расстояние x, и скорость υ за этот промежуток не успевает измениться. Координата отсчитывается от начального положения стержня. Тогда ЭДС индукции (по закону Фарадея)
\[E_{i} =\frac{\Delta \Phi }{\Delta t} =\frac{\Delta \left(B\cdot l\cdot x\right)}{\Delta t} =B\cdot l\cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} .\]
Изменение тока в катушке приведет к появлению ЭДС самоиндукции. Так как электрическое сопротивление всех элементов пренебрежимо мало, то ЭДС индукции Ei, возникающая под действием внешнего магнитного поля, должна быть равна ЭДС самоиндукции Esi катушки (и, естественно, направлена в противоположную сторону)
\[B\cdot l\cdot \frac{\Delta x}{\Delta t} =L\frac{\Delta I}{\Delta t} ,\]
где Δx = x – x0, ΔI = I – I0. Для начального положения стержня x0 = 0, I0 = 0. Тогда
\[B\cdot l\cdot \frac{x}{\Delta t} =L\frac{I}{\Delta t} ,\; \; \; I=\frac{B\cdot l}{L} \cdot x. \;\;\; (1) \]
Как видите, в этом случае сила тока I пропорциональна смещению (координате) перемычки x.
Сила Ампера с учетом уравнения (1) равна
\[F_{A} =I\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha =I\cdot B\cdot l=\frac{B^{2} \cdot l^{2} }{L} \cdot x.\]
Запишем второй закон Ньютона для стержня
\[m\cdot a=m\cdot g-F_{A} =m\cdot g-\frac{B^{2} \cdot l^{2} }{L} \cdot x,\]
\[ \left(a-g\right)+\frac{B^{2} \cdot l^{2} }{m\cdot L} \cdot x=0. \;\;\; (2) \]
Уравнение (2) — это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой ω, где
\[\omega ^{2} =\frac{B^{2} \cdot l^{2} }{m\cdot L} .\]
Начальное положение стержня — это верхняя точка колебательной системы (т.к. скорость стержня в этой точке равно нулю). В этой точке максимальное ускорение amax = g. Тогда
\[a_{\max } =g=\omega ^{2} \cdot A,\; \; \; A=\frac{g}{\omega ^{2} } =\frac{g\cdot m\cdot L}{B^{2} \cdot l^{2} } .\]
Максимальное смещение вниз
\[\Delta h=2A=\frac{2g\cdot m\cdot L}{B^{2} \cdot l^{2} } ,\]
Ответ. Вариант 1. Δh = 42 см.
Ответ. Вариант 2. Δh = 35 см.
