Тело на нити упруго сталкивается с бруском

[janashashkova]

Небольшое тело массой m = 1,1 кг висит на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 45 см, касаясь бруска массой M = 2,2 кг, покоящегося на шероховатой горизонтальной поверхности. Тело отвели в сторону так, что нить образовала угол α = 60° с вертикалью, и отпустили. На какой расстояние сместится брусок в результате абсолютно упругого удара, если коэффициент трения скольжения между бруском и поверхностью μ = 0,40?

Ответ:
\[s=\frac{4m^{2} \cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right)}{\mu \cdot \left(m+M\right)^{2} } .\]
Как не решаю в ответе не выходит 4, т.е получается ответ такой же только без 4. Где моя ошибка?
1) Закон сохранения энергии для тела Еп=Ек+Еп
2) Закон сохранения импульса mv=(M+m)u
3) кинетическая энергия бруска=работе силы трения.
 

[alsak]

Задачу разобьем на несколько частей (процессов) и начнем с последней.
1. Движение бруска по шероховатой горизонтальной поверхности.
Пусть υ₂ — это скорость бруска сразу после удара. Пройденный путь s найдем, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту поверхности, по которой движется брусок (рис. 1). Работа силы трения
\[A=\Delta E=E-E_{0} ,\]
где \( A=-F_{{\rm tr}} \cdot s,\; \; F_{{\rm tr}} =\mu \cdot N=\mu \cdot M\cdot g,\; \; E=0,\; \; E_{0} =\frac{M\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} . \) Тогда
\[-\mu \cdot M\cdot g\cdot s=-\frac{M\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} ,\; \; \; s=\frac{\upsilon _{2}^{2} }{2\mu \cdot g} .\; \; \; (1)\]

2. Столкновение тела и бруска.
Пусть υ — это скорость тела перед ударом, υ₁ — скорость тела после удара. Так как удар упругий, то для нахождения скорости бруска υ₂ воспользуемся законами сохранения энергии и импульса. За нулевую высоту примем высоту поверхности, на которой находится брусок, ось 0Х направим по направлению скорости υ (рис. 2). Запишем законы:
\[\begin{array}{c} {\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} +\frac{M\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} ,\; \; \; m\cdot \vec{\upsilon }=m\cdot \vec{\upsilon }_{1} +M\cdot \vec{\upsilon }_{2} ,} \\ {m\cdot \upsilon ^{2} =m\cdot \upsilon _{1}^{2} +M\cdot \upsilon _{2}^{2} ,\; \; \; m\cdot \upsilon =m\cdot \upsilon _{1x} +M\cdot \upsilon _{2} } \end{array}\]
 (направление скорости υ₁ мы не знаем). Решим систему двух последних уравнений:
\[\begin{array}{c} {\upsilon _{1x} =\upsilon -\frac{M\cdot \upsilon _{2} }{m} ,\; \; \; m\cdot \upsilon ^{2} =m\cdot \left(\upsilon -\frac{M\cdot \upsilon _{2} }{m} \right)^{2} +M\cdot \upsilon _{2}^{2} ,} \\ {m\cdot \upsilon ^{2} =\left(m\cdot \upsilon ^{2} -2M\cdot \upsilon \cdot \upsilon _{2} +\frac{M^{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{m} \right)+M\cdot \upsilon _{2}^{2} ,\; \; \; \frac{M^{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{m} +M\cdot \upsilon _{2}^{2} =2M\cdot \upsilon \cdot \upsilon _{2} ,} \\ {\upsilon _{2} \cdot \left(\frac{M}{m} +1\right)=2\upsilon ,\; \; \; \upsilon _{2} =\frac{2m\cdot \upsilon }{M+m} .\; \; \; (2)} \end{array}\]

3. Движение тела на нити.
Будем так же использовать закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем нижнее положение тела (рис. 3). Внешних сил нет, поэтому
\[E=E_{0} ,\; \; \; m\cdot g\cdot h_{0} =\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} ,\]
где h₀ = BC = AC – AB = l⋅(1 – cos α) (см. рис. 3). Тогда
\[g\cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right)=\frac{\upsilon ^{2} }{2} ,\; \; \; \; \upsilon =\sqrt{2g\cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right)} .\; \; \; (3)\]

Подставим уравнение (3) в (2), а затем в уравнение (1). В итоге получаем:
\[\begin{array}{c} {\upsilon _{2}^{2} =\left(\frac{2m}{M+m} \right)^{2} \cdot 2g\cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right),} \\ {s=\left(\frac{2m}{M+m} \right)^{2} \cdot \frac{2g\cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right)}{2\mu \cdot g} =\frac{4m^{2} \cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right)}{\mu \cdot \left(M+m\right)^{2} } .} \end{array}\]