Обобщающий тест 1

[Сергей]

1.11  Свободно падающее без начальной скорости тело последнюю часть пути s = 30 м преодолело за промежуток времени Δt = 1,0 с. Высота, с которой падало тело, составляет:
1) 45 м;   2) 54 м;   3) 61 м;   4) 76 м;   5) 90 м.

Решение. Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у₀ = 0, υ_0у = 0, g_y = g. Тогда  уравнение выражающее зависимость координаты тела от времен, будет иметь вид:
\[ y=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,\,(1) \]
Обозначим t₁ – время падения тела, Δt = 1 с по условию. В момент времени t₁ – Δt координата тела будет равна
\[ H-s=\frac{g\cdot {{\left( {{t}_{1}}-\Delta t \right)}^{2}}}{2}\,\,\,(2) \]
Когда тело упадет на землю, у = Н. Согласно (1)
\[ H=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}\,\,\,(3) \]
Подставим это уравнение в (2)
\[ \begin{align}
  & \frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}-s=\frac{g\cdot {{\left( {{t}_{1}}-\Delta t \right)}^{2}}}{2}\,; \\
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{t}_{1}}=\frac{\Delta t}{2}+\frac{s}{g\cdot \Delta t} \\
\end{align} \]
Теперь, когда известно время падения t₁, на основании (3) найдем высоту, с которой падало тело
\[ H=\frac{g}{2}\cdot {{\left( \frac{\Delta t}{2}+\frac{s}{g\cdot \Delta t} \right)}^{2}} \]
Ответ: 3) 61 м;

[Сергей]

1.12 От тела, движущегося вертикально вверх с модулем ускорения а, через t1 с после начала движения выпал шарик. Какая из нижеперечисленных формул определяет время t достижения шариком поверхности земли?
\[ \begin{align}
  & 1)\,\,\frac{{{t}_{1}}}{g}\cdot \left( a+\sqrt{{{a}^{2}}+g\cdot a} \right);\,\,\,4)\,\,\frac{{{t}_{1}}}{g}\cdot \left( a-\sqrt{{{a}^{2}}-g\cdot a} \right); \\
 & 2)\,\,\frac{{{t}_{1}}}{g}\cdot \left( a-\sqrt{{{a}^{2}}+g\cdot a} \right);\,\,\,\,5)\,\frac{a}{g}\cdot {{t}_{1}}; \\
 & 3)\frac{{{t}_{1}}}{g}\cdot \left( -a+\sqrt{{{a}^{2}}+g\cdot a} \right);\, \\
\end{align} \]

Решение. Совместим начало координат с точкой начала движения, ось Оу направим вертикально верх. Через время t1 координата тела и его скорость будут равны соответственно
\[ {{h}_{0}}=\frac{a\cdot t_{1}^{2}}{2};\,\,\,\,{{\upsilon }_{0}}=a\cdot {{t}_{1}}\,\,\,(1) \]
После момента выпадения шарика его координата будет определяться формулой
\[ h={{h}_{0}}+{{\upsilon }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
В момент падения тела h = 0 и с учетом (1)
\[ 0=\frac{a\cdot t_{1}^{2}}{2}+a\cdot {{t}_{1}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}; \]
Решим квадратное уравнение, например:
\[ \begin{align}
  & g\cdot {{t}^{2}}-2\cdot a\cdot {{t}_{1}}\cdot t-a\cdot t_{1}^{2}=0; \\
 & {{t}_{1,2}}=\frac{2\cdot a\cdot {{t}_{1}}\pm \sqrt{4\cdot {{a}^{2}}\cdot t_{1}^{2}+4\cdot g\cdot a\cdot t_{1}^{2}}}{2\cdot g} \\
\end{align} \]
Один из корней не подходит по смыслу. Тогда
\[ t=\frac{2\cdot a\cdot {{t}_{1}}+2\cdot {{t}_{1}}\cdot \sqrt{{{a}^{2}}+g\cdot a}}{2\cdot g}=\frac{{{t}_{1}}}{g}\cdot \left( a+\sqrt{{{a}^{2}}+g\cdot a} \right) \]
ответ: 1)

[Сергей]

1.13 Воздушный шар поднимается вертикально вверх с поверхности земли с ускорением, модуль которого а = 1,5 м/с². Через промежуток времени Δt₁ = 12 с от начала движения от него отделился камень. Высота от поверхности земли, на которой будет находиться камень через Δt₂ =5,0с после его отделения от шара, равна:
1) 54 м; 2) 63 м; 3) 73 м; 4) 76 м; 5) 84 м.

Решение. Смотри задачу 1.12
\[ h=\frac{a\cdot \Delta t_{1}^{2}}{2}+a\cdot \Delta {{t}_{1}}\cdot \Delta {{t}_{2}}-\frac{g\cdot \Delta t_{2}^{2}}{2}; \]
Ответ: 3) 73 м;

[Сергей]

1.14 Тело бросили горизонтально с начальной скоростью, модуль которой равен υ₀ =46 м/с. Через промежуток времени Δt = 5,0 с после броска модуль скорости тела будет равен:
1) 56 м/с;   2) 68 м/с;   3) 74 м/с;   4) 80 м/с;   5) 96 м/с.

Решение. В любой точке траектории ускорение направлено вниз и остается постоянным и равным g. Такое движение можно рассматривать как результат равномерного движения вдоль оси Ох и равноускоренного вдоль оси Оу. Тогда из геометрических соображений
\[ \upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}} \]
Применим формулу
\[ \vec{\upsilon }={{\vec{\upsilon }}_{0}}+\vec{a}\cdot t \]
Спроецируем на оси Ох и Оу: υ_0x = υ₀, a_x = 0, υ_0y = 0, a_y = g.

υ_у=g·t

Тогда
\[ \upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2}+\upsilon _{y}^{2}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+{{g}^{2}}\cdot {{t}^{2}}} \]
ответ: 2) 68 м/с

[Сергей]

1.15. С вершины горы в горизонтальном направлении произведен выстрел в мишень, отстоящую на расстоянии l =0,10 км от точки выстрела по горизонтальному направлению. Модуль скорости пули υ₀ = 0,50 км/с. В вертикальном направлении пуля за время полета снизилась на расстояние (сопротивление воздуха не учитывать):
1) 8,0 см; 2) 10 см; 3) 12 см; 4) 16 см; 5) 20 см.

Решение. Точку, из которой вылетела пуля, примем за начало координат. Ось Оу направим вертикально вниз, ось Ох – горизонтально. В этой системе координат движение пули можно представить как результат сложения равномерного движения в горизонтальном направлении и равноускоренного движения вдоль оси Оу с ускорением g без начальной скорости. Выпишем начальные условия: х₀ = 0, у₀ = 0, υ_0х = υ0, υ_0у = 0. Уравнения, определяющие зависимость координат от времени, запишутся так:

x = υ₀·t;  y = g·t²/2

В момент попадания пули в мишень x = l, y = h. Тогда
\[ t=\frac{l}{{{\upsilon }_{0}}};\,\,\,h=\frac{g\cdot {{l}^{2}}}{2\cdot \upsilon _{0}^{2}} \]
Ответ: 5) 20 см.

[Сергей]

1.16  Велосипедист движется по горизонтальной дороге с постоянной по модулю скоростью υ = 4,8 м/с. Модуль скорости точки А (рис. 5) на ободе колеса относительно поверхности земли равен:
1) 4,8 м/с;   2) 5,6 м/с; 3) 6,7 м/с;   4)8,3 м/с;    5)9,6 м/с.

Решение. Точка на ободе участвует одновременно в двух движениях: вращательном относительно центра колеса и поступательном относительно земли. Свяжем неподвижную систему с поверхностью земли и подвижную с центром колеса. Скорость точки υ_ot относительно неподвижной системы равна геометрической сумме его скорости υ₁ относительно подвижной системы отсчета и скорости υ подвижной системы отсчета относительно неподвижной
\[ {{\vec{\upsilon }}_{ot}}={{\vec{\upsilon }}_{1}}+\vec{\upsilon } \]
Применим теорему косинусов и учтем, что модуль скоростей υ и υ₁ равны
\[ {{\upsilon }_{ot}}=\sqrt{\upsilon _{1}^{2}+{{\upsilon }^{2}}-2\cdot {{\upsilon }_{1}}\cdot \upsilon \cdot \cos (180-30)}=\upsilon \cdot \sqrt{2+2\cdot \cos 30} \]
Ответ: 9,3 м/с Примечание. Ответ сборника 4)8,3 м/с

[Сергей]

1.17  Автомобиль движется со скоростью, модуль которой υ = 36,0 км/ Диаметр колеса автомобиля d =  80,0 см. Число оборотов колеса промежуток времени Δt = 60,0 с составляет:
1) 60,0;   2) 120;   3) 240;   4) 360;    5) 480.

Решение. Число оборотов колеса промежуток времени Δt  составляет

N = ν·Δt (1)

Модуль скорости автомобиля равен модулю линейной скорости точки обода колеса. Тогда
\[ \upsilon =\omega \cdot R=2\cdot \pi \cdot \nu \cdot R;\,\,\,\,\nu =\frac{\upsilon }{2\cdot \pi \cdot R} \]
На основании (1)
\[ N=\frac{\upsilon }{2\cdot \pi \cdot R}\cdot \Delta t \]
Ответ: 2) 120;

[Сергей]

1.18 Модули линейных скоростей точек 1 и 2, расположенных на поверхности горизонтального диска. υ₁ = 6,4 м/с и υ₂ = 11 м/с. Диск вращается с постоянной угловой скоростью ω = 9,6 рад/с вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр (рис. 6). Расстояние между точками 1 и 2 равно:
1) 24 см;   2) 36 см;   3) 48 см;   4) 56 см;   5) 60 см.

Решение. Пусть r₁ – расстояние до точки 1, а r₂ – расстояние до точки 2. Угловая скорость этих точек одинакова.
υ₁ = ω·r₁;  υ₂ = ω·r₂
Вычтем из второго уравнения первое
\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{1}}=\omega \cdot {{r}_{2}}-\omega \cdot {{r}_{1}}; \\
 & \Delta r={{r}_{2}}-{{r}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{2}}-{{\upsilon }_{1}}}{\omega } \\
\end{align} \]
ответ: 3) 48 см;

[Сергей]

1.19 Радиус Земли R = 6400 км. Модуль линейной скорости вращения точек земной поверхности на широте φ = 60,0° равен:
1) 7,90 км/с;    2) 466 м/с;   3) 233 м/с;    4) 120 м/с;   5) 62,0 м/с.

Решение. Точка В поверхности Земли движется по окружности радиусом r (см. рисунок), который найдем из треугольника ОАВ

r = R·cosα

Полный оборот точка совершает за время Т. Тогда линейная скорость
\[ \upsilon =\frac{2\cdot \pi \cdot r}{T}=\frac{2\cdot \pi \cdot R\cdot \cos \alpha }{T} \]
Ответ: 3) 233 м/с

[Сергей]

1.20 На высоте h = 80 см над горизонтальным диском находится маленький шарик. Если после начала свободного падения шарика до попадания его на диск последний повернулся на угол α = 36°, то частота равномерного вращения этого диска равна:
1) 0,25 об/с;   2) 1,5 об/с;   3) 2,5 об/с;   4) 8,8 об/с;   5) 88 об/с.
Решение. Частота ν вращения диска связана с угловой скоростью ω следующим соотношением
\[ \begin{align}
  & \nu =\frac{\omega }{2\cdot \pi }=\frac{\alpha }{t\cdot 2\cdot \pi };\,\,\,\alpha =\frac{\pi }{5}; \\
 & \nu =\frac{1}{10\cdot t} \\
\end{align} \]
Здесь мы перевели градусную меру угла в радианную и учли определение угловой скорости. Время t поворота диска, равно времени свободного падения шарика с высоты h
\[ h=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2};\,\,\,t=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}} \]
С учетом этого
\[ \nu =\frac{1}{10\cdot t}=\frac{1}{10\cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}} \]
Ответ: 1) 0,25 об/с;