2. Равноускоренное прямолинейное движение. Свободное падение

[Alecs]

В2,9 Тело брошено со скоростью, модуль которой υ₀=15 м/с, вертикально вверх с высоты h=20 м относительно поверхности земли. Средняя путевая скорость за время полета составит … м/с. (11 м/с)

Решение.

<υ_s>=S / t ,
S= H + H +h = 2⋅H + h.

Найдем H.
До верхней точки тело движется равнозамедленно с ускорением свободного падения g:

- 2⋅g⋅H = υ² – υ₀².

В верхнем положении υ = 0:

- 2⋅g⋅H = – υ₀²,

H= υ₀²/2g.

H = 11,25 м.
S= 2⋅11,25 м + 20 м =45 м.
Для того, чтобы найти время полета, запишем зависимость перемещения от времени и спроецируем ее на ось OY:
\[ \vec{r}=\vec{r}_{0} +\vec{\upsilon }_{0} \cdot t+\frac{g\cdot t^{2} }{2} ,\ \]
\[ y=h+\upsilon _{0} \cdot t-\frac{g\cdot t^{2} }{2} .\ \]
В момент падения y = 0.
\[ 0=h+\upsilon _{0} \cdot t-\frac{g\cdot t^{2} }{2} ,\ \]

0=20+15t-5t².

Откуда, время полета t = 4 c.
Средняя путевая скорость тела за время полета:

<υ_s>=45 м / 4 с = 11,25 м/с = 11 м/с.

Ответ: 11 м/с.

[Alecs]

В2,10 Тело свободно падает с высоты h=180 м. Разделите этот путь на три таких участка, на прохождение каждого из которых потребовалось одинаковое время. Определите в метрах разность между длинами наибольшего и наименьшего участков пути.

Решение.
При равноускоренном движении без начальной скорости (υ₀=0) пути пройденные телом за последовательные промежутки времени относятся как последовательность нечетных чисел.

S₁:S₂:S₃ = 1:2:3.

\[ S_{1} =\frac{h}{1+2+3} =\frac{h}{6} ,\ \]

S₁ = 180 м /6=30 м.
S₂ =2∙30 м = 60 м.
S₃ =3∙30 м = 90 м.

Проверим себя : 30 м + 60 м + 90 м = 180 м.
S3 - S1= 90 м - 30 м = 60 м.
Ответ: 60 м.

[Сергей]

А2.5 По графику зависимости модуля скорости υ от времени t (рис. 2.1) определите модуль средней скорости движения на первой половине пути:
1) 2,0 м/с;    2) 1,5 м/с;    3) 1,2 м/с;    4) 1,0 м/с;    5) 0,50 м/с.

Решение. Из графика следует, что на первой половине пути тело двигалось равноускорено. При движении с постоянным ускорением
 \[ \left\langle {{\upsilon }_{x}} \right\rangle =\frac{{{\upsilon }_{0}}_{x}+{{\upsilon }_{x}}}{2} \]
υ_0х = 0; υ_х = 2 м/с;
Ответ: 4) 1,0 м/с; Примечание: ответ пособия 3) 1,2 м/с;

Определим весь пройденный путь за 8 с, путь равен площади трапеции (см. рис).  s = 12 м.
Определим время за которое тело прошло половину пути, s_1/2 = 6 м. t₁ = 4 с тело двигалось равноускоренно и прошло путь равный 4 м (путь определим, как площадь треугольника), 2 м тело прошло за t₂ = 1 с, двигаясь равномерно со скоростью 2 м/с. Определим среднюю скорость на первой половине пути:

\[ \upsilon =\frac{{{s}_{1/2}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}. \]

υ = 6/5 = 1,2 м/с.
Ответ: 3) 1,2 м/с.