Кинетическая энергия колебаний цилиндра

[janashashkova]

В воде плавает в вертикальном положении частично погруженный деревянный цилиндр. Цилиндр погрузили немного глубже в воду и отпустили. После этого он начал колебаться вдоль своей оси симметрии с амплитудой x_max=1 см. Определите максимальную кинетическую энергию колебаний цилиндра, если площадь его основания равна 76 см². Сопротивлением воды пренебречь. Плотность воды равна 1 г/см³. Модуль ускорения свободного падения равен 10 м/с².

[Виктор]

Решение:  цилиндр плавает в воде, что означает равенство сил тяжести и силы Архимеда. Если цилиндр погрузить немного глубже, увеличивается объём погружённой части, что приводит к увеличению выталкивающей силы на величину ΔF_A. За счёт этой дополнительной силы маятник (цилиндр) приобретает максимальное ускорение a_m. По второму закону Ньютона
\[ \Delta F_{A} =m\cdot a_{m}, \]
здесь ΔF_A = ρ∙g∙ΔV – дополнительная сила Архимеда, ΔV = S∙Δh =  S∙ x_max – изменение объёма погружённой части цилиндра, S – площадь сечения цилиндра, Δh – дополнительная глубина погружения, равная амплитуде колебаний  x_max, m – масса цилиндра.
Модуль максимального ускорения am при гармонических колебаниях
\[ a=\omega ^{2} \cdot x_{\max }, \]
где ω – циклическая частота колебаний.
Максимальная кинетическая энергия колебаний равна полной энергии колебаний, которую удобно находить по формуле:
\[ E_{k}^{\max } =E=\frac{m\cdot \omega ^{2} \cdot x_{\max }^{2}}{2}. \]
Тогда из второго закона Ньютона получим
\[ \begin{array}{l} {\rho \cdot g\cdot S\cdot x_{\max } =m\cdot \omega ^{2} \cdot x_{\max } ,} \\ {\frac{\rho \cdot g\cdot S\cdot x_{\max }^{2} }{2} =\frac{m\cdot \omega ^{2} \cdot x_{\max }^{2} }{2} ,} \\ {E_{k}^{\max } =\frac{\rho \cdot g\cdot S\cdot x_{\max }^{2}}{2}.} \end{array} \]
Ответ: 3,8 мДж.
оплатите решение задачи 2500 бел руб.