Вариант 1. № 10. Брусок массой m1 = 500 г соскальзывает по наклонной плоскости высотой h = 0,8 м и сталкивается с неподвижным бруском массой m2 = 300 г, лежащим на горизонтальной поверхности. Считая столкновение упругим, определите кинетическую энергию первого бруска после столкновения. Трением при движении пренебречь, а наклонная плоскость плавно переходит в горизонтальную.
Вариант 2. № 10. Брусок массой m1 = 500 г соскальзывает по наклонной плоскости высотой h = 0,8 м и сталкивается с неподвижным бруском массой m2 = 300 г, лежащим на горизонтальной поверхности. Считая столкновение упругим, определите кинетическую энергию второго бруска после столкновения. Трением при движении пренебречь, а наклонная плоскость плавно переходит в горизонтальную.
Решение. Разобьем решение на два случая.
1 случай: движение бруска массой m1 вниз.
Воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту основания наклонной плоскости (рис. 1). Тогда
\[m_{1} \cdot g\cdot h_{0} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} ,\, \, \, \, \upsilon _{1} =\sqrt{2g\cdot h_{0} } ,\]
υ1 = 4 м/c.
2 случай: столкновение брусков.
В случае упругого удара кроме импульса системы сохраняется также ее механическая энергия. Запишем оба закона сохранения и учтем, что после упругого удара второй брусок начнет двигаться вправо (рис. 2):
\[\begin{array}{c} {m_{1} \cdot \upsilon _{1} =m_{1} \cdot \upsilon _{4x} +m_{2} \cdot \upsilon _{3} ,\; \; \; \; \; (1)} \\ {} \\ {\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{4x}^{2} }{2} +\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{3}^{2} }{2} .\; \; \; \; (2)} \end{array}\]
Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
\[\begin{array}{c} {\upsilon _{4x} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1} -m_{2} \cdot \upsilon _{3} }{m_{1} } ,\; \; \; (3)} \\ {} \\ {m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2} =m_{1} \cdot \left(\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1} -m_{2} \cdot \upsilon _{3} }{m_{1} } \right)^{2} +m_{2} \cdot \upsilon _{3}^{2} ,} \\ {} \\ {m_{1}^{2} \cdot \upsilon _{1}^{2} =\left(m_{1}^{2} \cdot \upsilon _{1}^{2} -2m_{1} \cdot m_{2} \cdot \upsilon _{1} \cdot \upsilon _{3} +m_{2}^{2} \cdot \upsilon _{3}^{2} \right)+m_{1} \cdot m_{2} \cdot \upsilon _{3}^{2} ,} \\ {}\\{0=-2m_{1} \cdot \upsilon _{1} +m_{2} \cdot \upsilon _{3} +m_{1} \cdot \upsilon _{3} ,\; \; \; \upsilon _{3} =\frac{2m_{1} }{m_{2} +m_{1} } \cdot \upsilon _{1} .} \end{array}\]
1 вариант. С учетом уравнения (3), кинетическая энергия первого бруска будет равна:
\[\begin{array}{c} {\upsilon _{4x} =\upsilon _{1} -\frac{m_{2} }{m_{1} } \cdot \upsilon _{3} =\upsilon _{1} -\frac{2m_{2} }{m_{2} +m_{1} } \cdot \upsilon _{1} =\frac{m_{1} -m_{2} }{m_{2} +m_{1} } \cdot \upsilon _{1} ,} \\{}\\ {E_{k4} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{4x}^{2} }{2} =\frac{m_{1} }{2} \cdot \left(\frac{m_{1} -m_{2} }{m_{2} +m_{1} } \cdot \upsilon _{1} \right)^{2} ,} \end{array}\]
Ek4 = 0,25 Дж.
Ответ. 0,25 Дж.
2 вариант. Кинетическая энергия второго бруска будет равна:
\[E_{k3} =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{3}^{2} }{2} =\frac{m_{2} }{2} \cdot \left(\frac{2m_{1} }{m_{2} +m_{1} } \cdot \upsilon _{1} \right)^{2} ,\]
Ek3 = 3,75 Дж.
Ответ. 3,75 Дж.
