Решение: уравнение гармонических колебаний имеет вид:
\[ x=A\cdot \sin (\omega t+\varphi _{0}), \]
где х — смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω = 2∙π/T — циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд, T – период колебаний, φ0 - начальная фаза колебаний.
По условию при t = 0 тело в положении равновесия (x = 0), тогда начальная фаза равна нулю, (φ0 = 0) т.е.:
\[ x=A\cdot \sin (\frac{2\cdot \pi }{T} \cdot t). \]
Скорость колеблющейся точки найдём, взяв первую производную по времени от координаты тела:
\[ \upsilon _{x} =x'=\left(A\cdot \sin (\frac{2\cdot \pi }{T} \cdot t)\right)^{{'} } =\frac{2\cdot \pi }{T} \cdot A\cdot \cos (\frac{2\cdot \pi }{T} \cdot t). \]
Ускорение найдем, взяв производную по времени от скорости:
\[ a_{x} =\upsilon '=\left(\omega A\cdot \cos (\omega t)\right)^{{'}} =-\left(\frac{2\cdot \pi }{T} \right)^{2} \cdot A\cdot \sin (\frac{2\cdot \pi }{T} \cdot t). \]
Для определения жёсткости (коэффициента упругости) пружины, воспользуемся формулой периода колебаний пружинного маятника
\[ \begin{array}{l} {T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}},{\rm \; \; \; \; \; }T^{2} =4\cdot \pi ^{2} \cdot \frac{m}{k},} \\ {k=\frac{4\cdot \pi ^{2} \cdot m}{T^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: υx = -7,85 см/с, ax = 0, k = 2,5∙10-2 Н/м.
