напряженность электрического поля, создаваемого распределенным зарядом

[Антон Огурцевич]

По тонкому кольцу радиусом R = 20 см равномерно распределен с линейной плотностью τ = 0,2 мкКл/м заряд. Определить напряженность E электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке A, находящейся на оси кольца на расстоянии h = 2R от его центра.

[Виктор]

Решение: разобьём кольцо на малые участки, несущие заряд q_i, которые можно считать точечными. Тогда каждый такой заряд в точке А создаёт поле с напряжённостью E_i, направленной от него, вдоль линии соединяющей точку А с зарядом q_i (будем считать заряд кольца положительным). Сделаем рисунок (см. рис.).  Для нахождения напряжённости поля кольца воспользуемся принципом суперпозиции, т.е. просуммируем напряжённости полей E_i. Как видно из рисунка,
\[ \begin{array}{l} {r^{2} =R^{2} +h^{2} =R^{2} +\left(2R\right)^{2} =5\cdot R^{2},} \\ {E_{i} =\frac{k\cdot q_{i} }{r^{2} } =\frac{k\cdot q_{i} }{5\cdot R^{2}} ,} \\ {E_{ix} =E_{i} \cdot \cos \alpha =\frac{k\cdot q_{i} }{5\cdot R^{2}} \cdot \frac{h}{r} =\frac{k\cdot q_{i}}{5\cdot R^{2}} \cdot \frac{2\cdot R}{R\cdot \sqrt{5} } =\frac{2}{5\cdot \sqrt{5}} \cdot \frac{k\cdot q_{i}}{R^{2}}.} \end{array} \]
Здесь k = 9∙10⁹ Н∙м²/Кл² – коэффициент пропорциональности. Просуммируем силы. Как видно из рисунка, сумма проекций напряжённостей E_iy на ось Y будет равна нулю, поэтому результирующая напряжённость будет равна сумме E_ix, и будет направлена вдоль оси X.
\[ E=\sum _{i}E_{ix}  =\sum _{i}\left(\frac{2}{5\cdot \sqrt{5}} \cdot \frac{k\cdot q_{i}}{R^{2}} \right) =\frac{2}{5\cdot \sqrt{5}} \cdot \frac{k}{R^{2}} \cdot \sum _{i}q_{i}  =\frac{2k\cdot Q}{5\cdot \sqrt{5} \cdot R^{2}}. \]
Здесь Q – суммарный заряд кольца, который легко определить, зная линейную плотность τ, и длину окружности кольца, т.е.
\[ \begin{array}{l} {Q=l\cdot \tau =2\pi \cdot R\cdot \tau ,} \\ {E=\frac{4\pi \cdot k\cdot \tau }{5\cdot \sqrt{5} \cdot R}.} \end{array} \]
Ответ:10,11 кВ/м.