Поле создано двумя paвнoмepнo заряженными концентрическими сферами

[Антон Огурцевич]

Поле создано двумя paвнoмepнo заряженными концентрическими сферами радиусами R₁ = 5 см и R₂ = 8 см. Заряды сфер соответственно равны q₁ = 2 нКл и q₂ = -1 нКл. Определите напряженность и потенциал электростатического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях:
1) r₁ = 3 см;
2) r₂ = 6 см;
3) r₃ = 10 см.
Постройте графики качественных зависимостей E_r(r) и φ(r).

[Виктор]

Решение: для определения напряжённости воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint _{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon _{0}} \cdot Q. \]
Поверхность – сфера, радиуса r. Тогда для трёх случаев
\[ \begin{array}{l} {r_{1} <R_{1} <R_{2} :{\rm \; \; \; \; \; }E_{1} \cdot 4\pi \cdot r_{1}^{2} =\frac{0}{\varepsilon _{0}} ,{\rm \; \; \; \; }E_{1} =0;} \\ {R_{1} <r_{2} <R_{2} :{\rm \; \; \; \; \; }E_{2} \cdot 4\pi \cdot r_{2}^{2} =\frac{q_{1} }{\varepsilon _{0}} ,{\rm \; \; \; \; }E_{2} =\frac{q_{1} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{2}^{2}} ;} \\ {R_{1} <R_{2} <r_{3} :{\rm \; \; \; \; \; }E_{3} \cdot 4\pi \cdot r_{3}^{2} =\frac{q_{1} +q_{2}}{\varepsilon _{0}} ,{\rm \; \; \; \; }E_{3} =\frac{q_{1} +q_{2}}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3}^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: E₁ = 0, E₂ = 5 кВ/м, E₃ = 0,9 кВ/м
Потенциал внутри проводника (проводящей сферы) в любой точке одинаков и равен потенциалу на поверхности, вне сферы – рассчитывается как потенциал точечного заряда (r – расстояние от центра). Потенциал си-стемы зарядов определим по принципу суперпозиции
\[ \begin{array}{l} {r_{1} <R_{1} <R_{2} :{\rm \; \; \; \; \; }\varphi _{1} =\frac{\left|q_{1} \right|}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1}} -\frac{\left|q_{2} \right|}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2}} =\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} } \cdot \left(\frac{\left|q_{1} \right|}{R_{1}} -\frac{\left|q_{2} \right|}{R_{2}} \right);} \\ {R_{1} <r_{2} <R_{2} :{\rm \; \; \; \; }\varphi _{2} =\frac{\left|q_{1} \right|}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{2}} -\frac{\left|q_{2} \right|}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2}} =\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0}} \cdot \left(\frac{\left|q_{1} \right|}{r_{2}} -\frac{\left|q_{2} \right|}{R_{2} } \right);{\rm \; }} \\ {R_{1} <R_{2} <r_{3} :{\rm \; \; \; \; }\varphi _{3} =\frac{\left|q_{1} \right|}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3}} -\frac{\left|q_{2} \right|}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3}} =\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3}} \cdot \left(\left|q_{1} \right|-\left|q_{2} \right|\right).} \end{array} \]
Ответ: φ₁ = 247,5 В, φ₂ = 187,5 В, φ₃ = 90 В.
При построении графиков качественных зависимостей Er(r) и φ(r), учтём, что значение напряжённости обратно пропорциональна квадрату расстояния, а потенциал обратно пропорционален расстоянию. Таким образом, гиперболы у напряжённости более крутые и с учётом произведённых выше расчётов см. рис.