Решение: металлический шар в центре обладает зарядом, который будет равномерно распределён по его поверхности. При этом на внутренней и внешней поверхностях толстостенного шара, окружающего металлический шарик в центре появятся индуцированные заряды, благодаря которым напряжённость результирующего поля в толще оболочки (толстостенного шара) станет равной нулю. Так как q > 0, то на внутренней поверхности оболочки индуцируется отрицательный заряд q1 = – q , а на внешней поверхности оболочки появится индуцированный заряд q2 = – q1 = q. Поле в любой точке пространства создаётся каждым из трёх зарядов (см. рис.). Для определения напряжённости воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint _{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon _{0}} \cdot Q. \]
Поверхность – сфера, радиуса ri. Тогда для случаев в задаче
\[ \begin{array}{l} {r_{1} <R:{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }E_{1} \cdot 4\pi \cdot r_{1}^{2} =\frac{0}{\varepsilon _{0}},{\rm \; \; \; \; }E_{1} =0;} \\ {R{\rm <\; }r_{2} <R_{1} :{\rm \; \; \; \; }E_{2} \cdot 4\pi \cdot r_{2}^{2} =\frac{q}{\varepsilon _{0}},{\rm \; \; \; \; }E_{2} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{2}^{2}} ;} \\ {R_{1} {\rm <\; }r_{3} <R_{2} :{\rm \; \; \; }E_{3} \cdot 4\pi \cdot r_{3}^{2} =\frac{q_{1} +q}{\varepsilon _{0}} =\frac{-q+q}{\varepsilon _{0}},{\rm \; \; \; \; }E_{3} =0;} \\ {r_{4} >R_{2} {\rm :\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }E_{4} \cdot 4\pi \cdot r_{4}^{2} =\frac{q+q_{1} +q_{2} }{\varepsilon _{0} } =\frac{q-q+q}{\varepsilon _{0}},{\rm \; \; \; \; }E_{4} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{4}^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: E1 = 0 кВ/м, E2 = 12,5 кВ/м, E3 = 0 кВ/м, E4 = 4,5 кВ/м.
Потенциал внутри проводника (проводящей сферы) в любой точке одинаков и равен потенциалу на поверхности, вне сферы – рассчитывается как потенциал точечного заряда (r – расстояние от центра). Потенциал системы определим по принципу суперпозиции
\[ \begin{array}{l} {r_{1} <R:{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\varphi _{1} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R} +\frac{q_{1} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1}} +\frac{q_{2}}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2}} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0}} \cdot \left(\frac{1}{R} -\frac{1}{R_{1}} +\frac{1}{R_{2}} \right);} \\ {R<r_{2} <R_{1} :{\rm \; \; \; \; }\varphi _{2} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{2}} +\frac{q_{1}}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{1}} +\frac{q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2}} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0}} \cdot \left(\frac{1}{r_{2}} -\frac{1}{R_{1}} +\frac{1}{R_{2}} \right);{\rm \; }} \\ {R_{1} <r_{3} <R_{2} :{\rm \; \; \; }\varphi _{3} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3}} +\frac{q_{1}}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3} } +\frac{q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2} } =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R_{2}} ;} \\ {r_{4} >R_{2} :{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\varphi _{4} =\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{4}} +\frac{q_{1}}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{4}} +\frac{q_{2} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{4}} .=\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{4}}.} \end{array} \]
Ответ: φ1 = 757,1 В, φ2 = 607,1 В, φ3 = 500 В, φ4 = 450 В.
При построении графиков качественных зависимостей Er(r) и φ(r), учтём, что значение напряжённости обратно пропорционально квадрату расстояния, а потенциал обратно пропорционален расстоянию. Таким образом, гиперболы у напряжённости более крутые вначале. Напряжённость поля внутри металла равна нулю, потенциал постоянен и с учётом вышеизложенного - см. рис.
