В центре тонкостенной металлической оболочки

[Антон Огурцевич]

В центре тонкостенной металлической оболочки радиусом R = 10 см, несущей заряд  q = 10 нКл, находится точечный заряд  q₀ = 5 нКл. Найти напряженность и потенциал электростатического поля на расстояниях: 
1) r₁ = 5 см, 
2) r₂ = R, 
3) r₃ = 15 см  от центра.
Построить графики качественных зависимостей  E_r(r) и φ(r).

[Виктор]

Решение: для определения напряжённости воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint _{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon _{0}} \cdot Q. \]
Поверхность – сфера, радиуса r. Тогда для трёх случаев
\[ \begin{array}{l} {r_{1} <R:{\rm \; \; \; \; \; }E_{1} \cdot 4\pi \cdot r_{1}^{2} =\frac{q_{0}}{\varepsilon _{0}} ,{\rm \; \; \; \; }E_{1} =\frac{q_{0} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{1}^{2}} ;} \\ {r_{2} =R:{\rm \; \; \; \; \; }E_{2} \cdot 4\pi \cdot R^{2} =\frac{q_{0} +q}{\varepsilon _{0}} ,{\rm \; \; \; \; }E_{2} =\frac{q_{0} +q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R^{2}} ;} \\ {r_{3} >R:{\rm \; \; \; \; \; }E_{3} \cdot 4\pi \cdot r_{3}^{2} =\frac{q_{0} +q}{\varepsilon _{0}} ,{\rm \; \; \; \; }E_{3} =\frac{q_{0} +q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3}^{2} }.} \end{array} \]
Ответ: E₁ = 18 кВ/м, E₂ = 13,5 кВ/м, E₃ = 6 кВ/м
Потенциал внутри проводника (проводящей сферы) в любой точке одинаков и равен потенциалу на поверхности, вне сферы – рассчитывается как потенциал точечного заряда (r – расстояние от центра). Потенциал си-стемы двух положительных зарядов определим по принципу суперпозиции
\begin{array}{l} {r_{1} <R:{\rm \; \; \; \; \; }\varphi _{1} =\frac{q_{0} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{1}} +\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R} =\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0}} \cdot \left(\frac{q_{0} }{r_{1}} +\frac{q}{R} \right);} \\ {r_{2} =R:{\rm \; \; \; \; }\varphi _{2} =\frac{q_{0}}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R} +\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R} =\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot R} \cdot \left(q_{0} +q\right);{\rm \; }} \\ {r_{3} >R:{\rm \; \; \; \; }\varphi _{3} =\frac{q_{0} }{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3}} +\frac{q}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3}} =\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r_{3}} \cdot \left(q_{0} +q\right).} \end{array}
Ответ: φ₁ = 1800 В, φ₂ = 1350 В, φ₃ = 900 В.
При построении графиков качественных зависимостей Er(r) и φ(r), учтём, что значение напряжённости обратно пропорционально квадрату расстояния, а потенциал обратно пропорционален расстоянию. Таким образом, гиперболы у напряжённости более крутые и с учётом вышеизложенного -  см. рис.