напряженность электрического поля в точке М

[Антон Огурцевич]

Два тонких бесконечно длинных стержня, расположенных на расстоянии а = 20 см один от другого, несут одинаковые равномерно распределенные заряды с линейной плотностью τ= 1 мКл/м. Определить напряженность электрического поля Е в точке М, одинаково удаленной от стержней на расстояние а.

[Виктор]

Решение: для определения напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным стержнем, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint _{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon _{0}} \cdot Q,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; }E\cdot S=\frac{Q}{\varepsilon _{0}} \cdot \]
Здесь ε₀ = 8,85 ∙ 10^-12 Ф/м – электрическая постоянная. Представим вокруг стержня коаксиальную замкнутую поверхность –цилиндр, радиуса r и длиной L (L = ∞). Для оснований E =0,  для боковой поверхности зависит от расстояния r. Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра. Учтём, что r = a, τ₁ = τ₂ = τ. В этом случае
\[ \begin{array}{l} {S={\rm \; }2\pi \cdot r\cdot L,{\rm \; \; \; \; \; }Q=\tau \cdot L,{\rm \; }} \\ {E\cdot 2\pi \cdot r\cdot L=\frac{\tau \cdot L}{\varepsilon _{0}} ,{\rm \; \; \; \; \; }E=\frac{\tau }{2\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot r},} \\ {E_{1} =E_{2} =E=\frac{\tau }{2\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot a}.} \end{array} \]
Так как в условии не указано взаимное расположение стержней, то рассмотрим два частных случая: стержни параллельны и перпендикулярны. С учётом вышеизложенного, сделаем рисунок (для наглядности изображения векторов напряжённости, стержни расположим в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка в первом случае, второй стержень также расположим – во втором случае, а первый в плоскости рисунка)
Воспользуемся принципом суперпозиции полей, учтём, что r = a, τ₁ = τ₂ = τ.
Случай 1: теорема косинусов для диагонали параллелограмма
\[ \begin{array}{l} {\vec{E}_{M} =\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2} ,{\rm \; \; \; \; }E_{M}^{2} =E_{1}^{2} +E_{2}^{2} +2\cdot E_{1} \cdot E_{2} \cdot \cos \alpha ,} \\ {E_{M}^{2} =3\cdot E^{2} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E_{M} =\frac{\tau \cdot \sqrt{3}}{2\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot a}.} \end{array} \]
Случай 2: теорема Пифагора
\[ \begin{array}{l} {\vec{E}_{M} =\vec{E}_{1} +\vec{E}_{2} ,{\rm \; \; \; \; }E_{M}^{2} =E_{1}^{2} +E_{2}^{2} ,} \\ {E_{M}^{2} =2\cdot E^{2} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E_{M} =\frac{\tau \cdot \sqrt{2} }{2\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot a}.} \end{array} \]
Ответ: 1,56 ∙ 10⁸ В/м, 1,27 ∙ 10⁸ В/м.
В случае другого расположения нужно конкретно знать угол между скре-щенными стержнями и в общем случае задача становится сложной.