За какое время амплитуда уменьшится в е раз?

[Антон Огурцевич]

За время τ₁ =  16,1 с амплитуда колебаний уменьшилась в η = 5 раз. За какое время τ₂  амплитуда уменьшится в е раз?

[Сергей]

Решение.
Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону:

\[ {{A}_{1}}={{A}_{0}}\cdot {{e}^{-\beta \cdot {{\tau }_{1}}}}\ \ \ (1). \]

Из формулы (1) найдем коэффициент затухания β:

\[ \beta =-\frac{1}{{{\tau }_{1}}}\cdot \ln \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{0}}}\ \ \ (2),\ \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{0}}}=5. \]

По условию задачи известно:

\[ \frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{0}}}=e\ \ \ (3). \]

Определим время τ₂:

\[ {{A}_{2}}={{A}_{0}}\cdot {{e}^{-\beta \cdot {{\tau }_{2}}}},\ {{\tau }_{2}}=\frac{{{\tau }_{1}}\cdot \ln \frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{0}}}}{\ln \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{0}}}}, \]

τ₂ = 10 с.
 Ответ: 10 с.