Найти первоначальную температуру тела

[Антон Огурцевич]

При изменении длины волны, соответствующей максимуму испускаемой способности, на ∆λ = 0,2 мкм, энергетическая светимость абсолютно чёрного тела увеличилась в n = 16 раз. Найти первоначальную температуру тела.

[Сергей]

Решение.
Энергия, излучаемая с единицы поверхности абсолютно черного тела определяется формулой Стефана-Больцмана:

R = σ∙Т⁴   (1).

σ = 5,67∙10^-8 Вт/м²∙К⁴.
По условию задачи известно, что энергетическая светимость абсолютно чёрного тела увеличилась, запишем условие:

\[ \frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=n=\frac{\sigma \cdot T_{2}^{4}}{\sigma \cdot T_{1}^{4}},\ {{T}_{2}}={{T}_{1}}\cdot \sqrt[4]{n}\ \ \ (1). \]

Зависимость максимума длины волны от температуры имеет вид (закон смещения Вина):

\[ {{\lambda }_{\max }}=\frac{b}{T},\ {{\lambda }_{1}}=\frac{b}{{{T}_{1}}},{{\lambda }_{2}}=\frac{b}{{{T}_{2}}}\ \ \ \ (2). \]

Где b = 2,9∙10^-3 м∙К – постоянная Вина, Т – температура. 
 По условию задачи:

∆λ = λ₁ – λ₂   (3).

Подставим (1) в (2) а (2) в (3) выразим первоначальную температуру тела.

\[ {{T}_{1}}=\frac{b}{\Delta \lambda }\cdot (\frac{\sqrt[4]{n}-1}{\sqrt[4]{n}}). \]

Т = 7250 К.
Ответ: 7250 К.