Решить задачу графически

[Антон Огурцевич]

Найдите:
в) скалярное произведение векторов a и b;
г) косинус угла между векторами a и b;
Решить задачу графически.

[Сергей]

 Угол между векторами (рис 1) определим по теореме косинусов, вектор а и вектор b отложим из одного пункта.

с² = а² + b² - 2∙а∙b∙соsα.

а_х = 3,0 м – 1,0 м = 2,0 м, а_у = 5,0 м – 2,0 м = 3,0 м, b_х = 3,0 м – 5,0 м =  -2,0 м, b_у = 4,0 м – 1,0 м = 3,0 м.

\[ \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}. \]

\[ \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{13},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{13}. \]

с = 4 (рис 2) сторона против угла который находим, (с находим по клеточкам).

\[ \cos \alpha =\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2\cdot a\cdot b},\ \cos \alpha =\frac{13+13-16}{2\cdot 13}. \]

соsα = 0,385
Скалярное произведение векторов заданных координатами определим воспользовавшись следующей формулой:

\[ \vec{a}\cdot \vec{b}={{a}_{x}}\cdot {{b}_{x}}+{{a}_{y}}\cdot {{b}_{y}}. \]

а_х = 3,0 м – 1,0 м = 2,0 м, а_у = 5,0 м – 2,0 м = 3,0 м, b_х = 3,0 м – 5,0 м =  -2,0 м, b_у = 4,0 м – 1,0 м = 3,0 м.
а∙b = 5,0 м².
 Скалярное произведение можно определить пользуясь формулой (косинус угла модули векторов находим из рисунка (рис 1)) :

\[ \vec{a}\cdot \vec{b}=\left| {\vec{a}} \right|\cdot \left| {\vec{b}} \right|\cos \alpha . \]

\[ \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}. \]

\[ \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{13},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{13}. \]

соsα = 0,385.
а∙b = 5,0 м².