Определить скорость и полное ускорение

[Антон Огурцевич]

Определить скорость и полное ускорение в момент времени t = 2 с при движении по окружности радиусом R = 1 м, согласно уравнению S = A∙t+B∙t³, где A = 8 м/с, B = -1 м/с², S - путь, отсчитанный от некоторой точки, принятой за начальную, вдоль окружности. Сделать рисунок.

[Сергей]

Запишем уравнение:

\[ S(t)=A\cdot t+B\cdot {{t}^{3}},\ S(t)=8\cdot t-{{t}^{3}}. \]

Скорость выразим как первую производную от координаты по времени:

\[ \upsilon (t)=s(t)'=(8\cdot t-{{t}^{3}})'=8-3\cdot {{t}^{2}}\ \ \ (1).

 \]

Подставим в (1) t = 2 с найдем скорость.υ(2) = 8 –  3∙22 = -4 м/с.
Тангенциальное ускорение выразим как вторую производную от координаты по времени

\[ \begin{align}
  & {{a}_{\tau }}(t)=s(t)''=(8\cdot t-{{t}^{3}})''=(8-3\cdot {{t}^{2}})'=-6\cdot t\ \ \ (2). \\
 & {{a}_{\tau }}(2)=-12. \\
\end{align} \]

а_τ = -12 м/с².
Нормальное ускорение определим по формуле:

\[ {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R},\ {{a}_{n}}=\frac{{{(8-3\cdot {{t}^{2}})}^{2}}}{R}\ (3).{{a}_{n}}=\frac{{{(-4)}^{2}}}{1}=16. \]

Полное ускорение определим по формуле:

\[ {{a}^{2}}=a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2},a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2}}\ \ \ (4).a=\sqrt{{{(-12)}^{2}}+{{(16)}^{2}}}=20. \]

Ответ: -4 м/с, -12 м/с² , 16 м/с² , 20 м/с².