Определить скорости шаров после удара

[Антон Огурцевич]

Шар массой m₁ = 5 кг движется со скоростью υ₁₁ = 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 2 кг. Определить скорости υ₁₂ и υ₂₂ шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
В случае абсолютно упругого удара закон сохранения импульса принимает вид:

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{11}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{21}}={{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{12}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{22}}\ \ \ (1). \]

Покажем рисунок, предположим, что при упругом центральном ударе шарики отскакивают в разные стороны и найдем проекции на ось Х:

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{11}}=-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{12}}+{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{22}}\ \ \ (2). \]

Запишем закон сохранения энергии для упругого столкновения двух тел:

\[ \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{11}^{2}}{2}=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{12}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{22}^{2}}{2}\ \ \ (3). \]

Решим систему уравнений (2) и (3), из (2) выразим υ₁₂ и подставим в (3):

\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{12}}=\frac{{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{22}}-{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{11}}}{{{m}_{1}}}=\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot {{\upsilon }_{22}}-{{\upsilon }_{11}}\ \ \ (4). \\
 & {{m}_{1}}\cdot \upsilon _{11}^{2}={{m}_{1}}\cdot {{(\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot {{\upsilon }_{22}}-{{\upsilon }_{11}})}^{2}}+{{m}_{2}}\cdot \upsilon _{22}^{2}\ \ \ (5). \\
\end{align} \]

Подставим значения в (5) и выразим υ₂₂.
υ₂₂ = 1,43 м/с.
υ₂₂ подставим в (4) определим υ₁₂.
υ₁₂ = -0,428 м/с. Скорость υ12 направленна в противоположную сторону выбранного нами направления.
Ответ: 1,43 м/с, 0,428 м/с.