найти высоту, на которую поднимается тело

[Антон Огурцевич]

Телу сообщили на полюсе Земли скорость υ₀, направленную вертикально вверх. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на её поверхности, найти высоту, на которую поднимается тело. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения энергии, за нулевой уровень примем пункт который находится на бесконечно большом расстоянии от Земли, энергия гравитационного взаимодействия при таком выборе начала отсчета всегда отрицательна, покажем рисунок:

Е_к1 + (-Е_п1 )= Е_к2 + (-Е_п2 )  (1).

\[ \begin{align}
  & \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}+(-\frac{G\cdot M\cdot m\cdot R}{{{R}^{2}}})=\frac{m\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}+(-\frac{G\cdot M\cdot m\cdot (R+h)}{{{(R+h)}^{2}}}), \\
 & \frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}-\frac{G\cdot M\cdot m}{R}=\frac{m\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}-\frac{G\cdot M\cdot m}{R+h}, \\
 & \frac{\upsilon _{0}^{2}}{2}-\frac{G\cdot M}{R}=-\frac{G\cdot M}{R+h}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]

Где: G = 6,67∙10^-11 Н∙м²/кг², G – гравитационная постоянная, g = 10 м/с², R – радиус Земли, R = 6,4∙10⁶ м.
Массу Земли определим по формуле:

\[ g=\frac{G\cdot M}{{{R}^{2}}},\ M=\frac{g\cdot {{R}^{2}}}{G}\ \ \ (3). \]

Из (2) выразим высоту и подставим в (2) (3):

\[ \begin{align}
  & \frac{G\cdot M}{R+h}=\frac{G\cdot M}{R}-\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2},\ \frac{1}{R+h}=\frac{1}{R}-\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot G\cdot M}, \\
 & \frac{1}{R+h}=\frac{1}{R}-\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot G\cdot \frac{g\cdot {{R}^{2}}}{G}},\ R+h=\frac{1}{\frac{1}{R}-\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot g\cdot {{R}^{2}}}}, \\
 & h=\frac{2\cdot g\cdot {{R}^{2}}}{2\cdot g\cdot R-\upsilon _{0}^{2}}-R,\ h=\frac{\upsilon _{0}^{2}\cdot R}{2\cdot g\cdot R-\upsilon _{0}^{2}}. \\
\end{align} \]