6. Импульс тела. Закон сохранения импульса

[Сергей]

Тест В2. 3. Частицы 1 и 2 имеют одинаковую массу m и скорости, модули которых υ₁ = З м/с и υ₂ = 4 м/с. Скорости частиц направлены взаимно перпендикулярно. Если в результате удара первая частица останавливается, то модуль скорости второй частицы после удара будет равен ... м/с.
Решение. Покажем рисунок.
 Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.

\[ \begin{align}
  & m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}=m\cdot \vec{\upsilon }.\ {{(m\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}+{{(m\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}={{(m\cdot \upsilon )}^{2}}. \\
 & \upsilon =\frac{\sqrt{{{(m\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}+{{(m\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}}}{m}=\sqrt{{{\upsilon }_{1}}^{2}+\upsilon _{2}^{2}}.\  \\
 & \upsilon =\sqrt{{{(3)}^{2}}+{{(4)}^{2}}}=5. \\
\end{align} \]

Ответ: 5 м/с.

[Сергей]

Тест В2. 4. Снаряд в верхней точке траектории имеет скорость, модуль которого υ = 12 м/с. Снаряд разорвался на две части массами m₁ = 10 кг и m₂
= 5,0 кг. Модуль скорости большего осколка υ₂ = 25 м/с и скорость направлена под углом α = 30° к горизонту вниз и вперед. Величина скорости меньшего осколка составляет ... м/с.
Решение.

\[ \begin{align}
  & ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }={{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}.\  \\
 & {{({{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}={{(({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon )}^{2}}+{{({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}-2\cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon )\cdot ({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{2}})\cdot cos\alpha , \\
 & {{\upsilon }_{1}}=\sqrt{\frac{{{(({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon )}^{2}}+{{({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}-2\cdot ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon \cdot ({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{2}})\cdot cos\alpha }{m_{2}^{2}}}, \\
 & {{\upsilon }_{1}}=\frac{\sqrt{{{((10+5,0)\cdot 12)}^{2}}+{{(10\cdot 25)}^{2}}-2\cdot (10+5,0)\cdot 12\cdot 10\cdot 25\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}{5,0}=26. \\
\end{align} \]

Ответ: 26 м/с.

[Сергей]

Тест В2. 5. Тележка с песком  массой М = 16 кг движется по горизонтальным рельсам со скоростью, модуль которой υ = 5,0 м/с. Вертикально падающий камень массой m = 4,0 кг попадает в песок и движется вместе с тележкой. Модуль скорости тележки после падения камня будет равен ... м/с.
Решение. Определим совместную скорость тележки с песком  после падения на нее камня.
Для системы  тележка с песком камень  можно применить закон сохранения импульса.

\[ \begin{align}
  & M\cdot \vec{\upsilon }+m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}=(M+m)\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}. \\
 & Ox:\ M\cdot \upsilon =(M+m)\cdot {{\upsilon }_{1}},\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{M\cdot \upsilon }{M+m}. \\
 & \upsilon =\frac{16\cdot 5,0}{(16+4,0)}=4,0. \\
\end{align} \]

Ответ: 4,0 м/с.

[Сергей]

Тест В2. 6. Два рыбака сидят в неподвижной лодке на расстоянии l = 5,0 м друг от друга. Масса лодки М = 280 кг, массы рыбаков m₁ = 70 кг и m₂ = 140 кг. Если рыбаки поменяются местами, лодка сместится на ... см.
Решение.
Внутренние силы, при любых изменениях внутри системы не могут изменить положение центра масс лодки относительно берега. Если рыбаки меняются местами, лодка вместе с рыбаками будет двигаться в сторону противоположную перемещению рыбака с большей массой для того чтобы не изменить положение центра масс лодки относительно берега.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса:

\[ {{\vec{p}}_{1}}={{\vec{p}}_{2}}\ \ \ (1). \]

р₁ – импульс до взаимодействия (два рыбака стоят на лодке, лодка не движется):

р₁ = 0   (2).

р₂ – импульс во время взаимодействия (рыбаки меняются местами, лодка вместе с рыбаками будет двигаться в сторону противоположную перемещению рыбака с большей массой). 

\[ \begin{align}
  & {{{\vec{p}}}_{2}}={{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}+(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }, \\
 & Ox:\ {{p}_{2}}={{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}+(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon \ \ \ (3). \\
\end{align} \]

Подставим (3) и (2) в (1) определим перемещение лодки:

\[ \begin{align}
  & 0={{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}+(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ,\ {{\upsilon }_{1}}=\frac{l}{t}\ \ \ (4),\ {{\upsilon }_{2}}=\frac{l}{t}\ \ \ (5),\ \upsilon =\frac{{{l}_{1}}}{t}\ \ \ (6), \\
 & 0={{m}_{1}}\cdot \frac{l}{t}-{{m}_{2}}\cdot \frac{l}{t}+(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \frac{{{l}_{1}}}{t},\ l\cdot ({{m}_{2}}-{{m}_{1}})=(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot {{l}_{1}}, \\
 & {{l}_{1}}=\frac{l\cdot ({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{(M+{{m}_{1}}+{{m}_{2}})}\ \ \ \ (7).\ {{l}_{1}}=\frac{5,0\cdot (140-70)}{280+140+70}=0,713. \\
\end{align} \]

l₁ = 0,713 м.
Ответ: 71 см.

[Сергей]

Тест В2. 7. Ракета, масса которой без топлива составляет М = 400 г, при сгорании топлива поднимается на высоту h = 125 м. Масса топлива m = 50 г. Если сгорание происходит мгновенно, то модуль скорости выхода газов из ракеты составляет ... км/с.
Решение.
До старта импульс системы ракета топливо был равен нулю, используя закон сохранения импульса определим скорость выхода газов из ракеты при старте.

\[ \begin{align}
  & 0=M\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+m\cdot \vec{\upsilon }. \\
 & Ox:\ 0=M\cdot {{\upsilon }_{1}}-m\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{M\cdot {{\upsilon }_{1}}}{m},\ {{\upsilon }_{1}}=\sqrt{2\cdot g\cdot h},\ \ \upsilon =\frac{M\cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h}}{m}, \\
 & \upsilon =\frac{0,4\cdot \sqrt{2\cdot 10\cdot 125}}{0,05}=400. \\
\end{align} \]

Ответ: 0,4 км/с.

[Сергей]

Тест В2. 9. Струя воды падает перпендикулярно на стенку и стекает с нее. Если модуль скорости течения воды в струе υ = 10,0 м/с, то давление, оказываемое водой на стенку, составляет ... кПа.
Решение.
Изменение импульса воды равно импульсу силы.

\[ \begin{align}
  & F\cdot t=\Delta p,\Delta p=m\cdot \upsilon ,\ m=\rho \cdot V,\ V=S\cdot l,\ F\cdot t=\rho \cdot S\cdot l\cdot \upsilon , \\
 & \frac{F}{S}=\frac{\rho \cdot l\cdot \upsilon }{t}=\rho \cdot {{\upsilon }^{2}}.\ \frac{F}{S}=1000\cdot {{10}^{2}}={{10}^{5}}. \\
\end{align}
 \]

Ответ: 100 кПа.

[Сергей]

Тест В2. 10. Гидрореактивный (водометный) катер всасывает и выбрасывает ежесекундно забортную воду объёмом V = 0,500 м³. Если модуль скорости вбрасываемой воды относительно катера υ = 25,0 м/с, то модуль реактивной силы составляет ... кН.
Решение. Изменение импульса забортной воды относительно катера  равно импульсу силы.

\[ \begin{align}
  & \Delta \vec{p}=m\cdot \vec{\upsilon }-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{0}},\ {{\upsilon }_{0}}=0,\ Ox:\ \Delta p=m\cdot \upsilon ,\ m=\rho \cdot V,\ F\cdot t=\Delta p, \\
 & F=\frac{\rho \cdot V\cdot \upsilon }{t}.\ F=\frac{1000\cdot 0,5\cdot 25}{1}=12500. \\
\end{align} \]

F = 12,5 кН.