Найти объём газа

[Антон Огурцевич]

На рисунке изображена кривая изотермического расширения идеального газа от объёма V₁ = 1 л до V₂ = 2 л и далее до объёма V₃. Найти величину V₃, если известно, что работа расширения газа в процессе 1-2 вдвое меньше, чем в процессе 1-3. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
При изотермическом процессе работа определяется по формуле:

\[ A=\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{2}}}{pdV,\ p=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}}{V}},\ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}=\nu \cdot R\cdot T,\ A=\nu \cdot R\cdot T\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{2}}}{\frac{1}{V}dV}\ \ \ (1). \]

По условию задачи известно:

2∙А₁₂ =  А₁₃   (2).

Определим работу на участке 1-2 и 1-3:

\[ \begin{align}
  & \ {{A}_{12}}=\nu \cdot R\cdot T\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{2}}}{\frac{1}{V}dV=}\ \nu \cdot R\cdot T\ \cdot \ln \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}\ \ \ \ (3), \\
 & \ {{A}_{13}}=\nu \cdot R\cdot T\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{3}}}{\frac{1}{V}dV=}\ \nu \cdot R\cdot T\ \cdot \ln \frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{1}}}\ \ \ \ (4). \\
\end{align} \]

Подставим (3) и (4) в (2) определим V₃.

\[ \begin{align}
  & 2\cdot \nu \cdot R\cdot T\ \cdot \ln \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}\ =\ \nu \cdot R\cdot T\ \cdot \ln \frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{1}}}\ ,2\ \cdot \ln \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}\ =\ \ln \frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{1}}}, \\
 & \ln {{(\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}})}^{2}}\ =\ \ln \frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{1}}},\ {{(\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}})}^{2}}=\frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{1}}},\ {{V}_{3}}=\frac{V_{2}^{2}}{{{V}_{1}}}. \\
\end{align} \]

V₃ = 4∙10^-3 м³.