Цикл Карно

[Антон Огурцевич]

При температурах “нагревателя” и “холодильника”, равных соответственно t_н = 127 градусов Цельсия и t_х = 27 градусов Цельсия, двухатомный газ в количестве ν = 1 моль совершает цикл Карно. Наибольший объём газа V₃ = 20 л, наименьший V₁ = 4 л. Определить: 1) координаты пересечения (p_k, V_k и T_k, где k = 1, 2, 3, 4) изотерм и адиабат; 2) работу газа A за один цикл; 3) количество теплоты Q_н, полученное рабочим телом от “нагревателя” за цикл; 4) термический КПД цикла. Сделать рисунки.

[Сергей]

Решение.
Определим координаты каждой точки:
Точка 1. Т₁ = (127 + 273) К =400 К, V₁ = 4∙10^-3 м³,
Запишем формулу Клапейрона Менделеева и определим давление газа:

\[ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}},\ {{p}_{1}}=\frac{\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}}{{{V}_{1}}}\ \ \ (1). \]

R = 8,31 Дж/моль∙К – универсальная газовая постоянная.
р₁ = 0,83∙10⁶ Па.
Точка 3. Т₃ = (127 + 27) К = 300 К, V₃ = 20∙10^-3 м³, Запишем формулу Клапейрона Менделеева и определим давление газа:

\[ {{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{3}},\ {{p}_{3}}=\frac{\nu \cdot R\cdot {{T}_{3}}}{{{V}_{3}}}\ \ \ (2). \]

р₃ = 0,125∙10⁶ Па.
Точка 2. Т₂ = Т₁ = 400 К,
 Запишем уравнение адиабаты:

Т∙V^k-1 = соnst    (1).

k – показатель адиабаты,

\[ k=\frac{{{C}_{p}}}{{{C}_{V}}}\ \ \ (3). \]

С_р и С_V – теплоемкость при изобарном и изохорном процессе, двухатомный газ, для двухатомных газов k = 1,4.
Определим V₂:

\[ {{T}_{2}}\cdot V_{2}^{1,4-1}={{T}_{3}}\cdot V_{3}^{1,4-1},\ {{V}^{0,4}}_{2}=\frac{{{T}_{3}}\cdot V_{3}^{0,4}}{{{T}_{2}}},\ {{V}_{2}}={{(\frac{{{T}_{3}}\cdot V_{3}^{0,4}}{{{T}_{2}}})}^{2,5}}. \]

V₂ = 9,74∙10^-3 м³.
Запишем формулу Клапейрона Менделеева и определим давление газа:

\[ {{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{2}},\ {{p}_{2}}=\frac{\nu \cdot R\cdot {{T}_{2}}}{{{V}_{2}}}\ \ \ (4). \]

р₂ = 0,33∙10⁶ Па.
Точка 4.
Т₄ = Т₃ = 300 К.
Определим V₂:

\[ {{T}_{4}}\cdot V_{4}^{1,4-1}={{T}_{1}}\cdot V_{1}^{1,4-1},\ {{V}^{0,4}}_{4}=\frac{{{T}_{1}}\cdot V_{1}^{0,4}}{{{T}_{4}}},\ {{V}_{4}}={{(\frac{{{T}_{1}}\cdot V_{1}^{0,4}}{{{T}_{4}}})}^{2,5}}. \]

V₄ = 8,2∙10^-3 м³.
Запишем формулу Клапейрона Менделеева и определим давление газа:

\[ {{p}_{4}}\cdot {{V}_{4}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{4}},\ {{p}_{4}}=\frac{\nu \cdot R\cdot {{T}_{4}}}{{{V}_{4}}}\ \ \ (5). \]

р₄ = 0,297∙10⁶ Па.

[Сергей]

4) Термический КПД тепловой машины которая работает по циклу Карно определим по формуле:

\[ \eta =1-\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\ \ \ (1). \]

η =  0,25.
3) Количество теплоты Q(н), полученное рабочим телом от “нагревателя” за цикл равно работе газа при изотермическом процессе 1 → 2.
Работа газа при изотермическом процессе определяется по формуле:

\[ {{Q}_{n}}={{A}_{12}}=\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{2}}}{pdV\ \ \ (2).} \]

Получим:

\[ {{Q}_{n}}={{A}_{12}}={{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}\int\limits_{{{V}_{1}}}^{{{V}_{2}}}{\frac{dV}{V}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{1}}\cdot \ln \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}. \]

Q_n = А₁₂ = 2,958∙10³ Дж.
2) работу газа A за один цикл
КПД тепловой машины равно отношению полезной работы к количеству теплоты полученному от нагревателя:

\[ \eta =\frac{A}{{{Q}_{n}}},\ A=\eta \cdot {{Q}_{n}}\ \ \ (3). \]

А = 0,74∙10³ Дж.