Найдите напряженность и индукцию магнитного поля

[Антон Огурцевич]

Найдите напряженность H и индукцию B магнитного поля, создаваемого отрезком прямолинейного проводника длиной l = 10 см с током I = 10 A в точке, равноудаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии a = 5 см от его середины. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Направление вектора магнитной индукции в указанной точке определим по правилу буравчика. Покажем рисунок.
Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определим используя закон Био -  Савара -  Лапласа.

\[ \begin{align}
  & dB=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \sin \alpha d\alpha ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot \int\limits_{{{\alpha }_{1}}}^{{{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha d\alpha ,} \\
 & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (1). \\
\end{align} \]

Где: R = а - расстояние от т. О до проводника; – α₁ и α₂ углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
Углы определим из треугольника АВО, катеты по 5 см.
α₁ = 3∙π/4, α₂ = π/4.
Определим модуль вектора магнитной индукции в точке О.

\[ \begin{align}
  & B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{3\cdot \pi }{4})\ ,\ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})\ , \\
 & {{B}_{O}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{8\cdot \pi \cdot R}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]

μ₀ = 4∙π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.
В_О = 2,82∙10^-5 Тл.
Магнитная индукция В связана с напряжённостью магнитного поля в однородной среде Н отношением
B = μ∙μ₀∙H  (3),
где μ − магнитная проницаемость среды, μ₀ = 4π⋅10^-7 Гн/м − магнитная постоянная. Для вакуума μ = 1.
Выразим из (3) Н:

\[ H=\frac{B}{\mu \cdot {{\mu }_{0}}}, \]

Н = 22,5 А/м.