Нормальное ускорение точки

[Антон Огурцевич]

Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R = 4 м, задаётся уравнением: a_n = A+B∙t+C∙t² (A =1 м/с²; B = 6 м/с³; C = 9 м/c⁴). Определить: 1) тангенциальное ускорение; 2) путь, пройденный точкой за время t = 5 с после начала движения; 3) полное ускорение точки для момента t₂ = 1 с. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности определяется по формуле:

\[ \begin{align}
  & {{a}_{n}}=1+6\cdot t+9\cdot {{t}^{2}}. \\
 & {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R},\ \upsilon =\sqrt{R\cdot (1+6\cdot t+9\cdot {{t}^{2}})}\ =\sqrt{R\cdot 9\cdot {{(t+\frac{1}{3})}^{2}}}\ =6\cdot (t+\frac{1}{3})\ =6\cdot t+2\ \ (1). \\
 & \frac{d\upsilon }{dt}=\frac{R\cdot (6+18\cdot t)}{2\cdot \sqrt{R\cdot (1+6\cdot t+9\cdot {{t}^{2}})}}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]

а_τ = 6 м/с².
Определим полное ускорение точки.

\[ a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2}},\ a=\sqrt{{{(1+6\cdot t+9\cdot {{t}^{2}})}^{2}}+{{(\frac{R\cdot (6+18\cdot t)}{2\cdot \sqrt{R\cdot (1+6\cdot t+9\cdot {{t}^{2}})}})}^{2}}\ }\ \ \ (3). \]

t₂ = 1 с, а = 17 м/с².
Определим путь, пройденный точкой.

\[ s=\int\limits_{0}^{t}{\upsilon \cdot dt=}\int\limits_{0}^{t}{(6\cdot t+2)\cdot dt=}3\cdot {{t}^{2}}+2\cdot t\ \ \ (4). \]

t = 5 с, s = 85 м.