Условие задачи (уточнённое).
Тонкий стержень длиной l = 20 см несет равномерно распределенный заряд Q = 0,1 мкКл. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке A, лежащей на оси стержня на расстоянии а =20 см от его конца. Сделать рисунок.
Решение: (судя по условию – Q = 0,1 мкКл – заряд стержня, обозначим Q, а не тау - τ, поэтому уточняю условие)
На стержне выделим малый участок длиной dx. Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд, который можно считать точечным
dQ = τ∙dx,
где τ = Q/l – линейная плотность заряда стержня.
Напряжённость dE, создаваемую этим точечным зарядом в точке А можно определить по формуле
\[ dE=\frac{dQ}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot x^{2}} \cdot \frac{r}{r} =\frac{\tau \cdot {\kern 1pt} dx}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot x^{2}} \cdot \frac{r}{r} =\frac{Q\cdot {\kern 1pt} dx}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot l\cdot x^{2}} \cdot \frac{r}{r}. \]
где r - радиус-вектор, направленный от элемента dx к точке в которой вычисляется напряжённость. Таим образом, модуль вектора напряжённости поля
\[ dE=\frac{Q{\kern 1pt} \cdot dx}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot l\cdot x^{2}} . \]
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряжённость электрического поля E, созданного заряженным стержнем в точке А найдём интегрированием этого выражения
\[ E=\int _{a}^{l+a}\frac{Q\cdot {\kern 1pt} dx}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot l\cdot x^{2}} =\frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot l} \cdot \int _{a}^{l+a}\frac{dx}{x^{2}} =\frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0} l} \cdot \left(-\frac{1}{x} \right)\left|\begin{array}{c} {l+a} \\ {a} \end{array}\right. =\frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot l} \left(-\frac{1}{l+a} +\frac{1}{a} \right). \]
По условию l = a = 20 см = 0,2 м. Упростим выражение:
\[ {\rm E}=\frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot l} \cdot \left(-\frac{1}{l+l} +\frac{1}{l} \right)=\frac{Q}{4\pi \varepsilon _{0} \cdot l} \cdot \left(\frac{2-1}{2l} \right)=\frac{Q}{8\pi \varepsilon _{0} \cdot l^{2}}. \]
Расчёт:
\[ E=\frac{0,1\cdot 10^{-6}}{8\cdot 3,14\cdot 8,85\cdot 10^{-12} \cdot 0,2^{2}} =1,124\cdot 10^{4}. \]
Ответ: Е = 11,2 кВ/м.
