Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию. Кинетическая энергия состоит из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.
\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{0}}^{2}}{2}+\frac{I\cdot {{\omega }^{2}}}{2}\ \ \ (1). \]
m – масса тела которое поднимается,
h – высота на которую поднимается тело (см. рис.), υ
0 – начальная линейная скорость тела,
J – момент инерции тела, ω – угловая скорость вращения тела.
Запишем формулу нахождения высоты наклонной плоскости с которой скатывается тело:
h = l∙sinα (2).
Длина наклонной плоскости определится по формуле:
\[ l=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{-2\cdot a},\ \upsilon =0,\ l=\frac{-\upsilon _{0}^{2}}{-2\cdot a}\ \ \ (3). \]
Подставим (2) в (3) выразим ускорение:
\[ a=\frac{{{\upsilon }_{0}}^{2}\cdot \sin \alpha }{2\cdot h}\ \ \ (4). \]
В начальный момент времени угловая скорость связана с линейной скоростью:
\[ \omega =\frac{{{\upsilon }_{0}}}{R}\ \ \ (5). \]
Определим ускорение обруча. Момент инерции обруча определяется по формуле:
\[ J=m\cdot {{R}^{2}}\ \ \ (6). \]
Подставим (6) и (5) в (1):
\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{0}}^{2}}{2}+\frac{m\cdot {{R}^{2}}\cdot {{\upsilon }_{0}}^{2}}{2\cdot {{R}^{2}}},\ {{\upsilon }_{0}}^{2}=g\cdot h\ \ \ (7). \]
Подставим (7) в (4) выразим ускорение обруча:
\[ a=\frac{g\cdot \sin \alpha }{2}\ \ \ (8\ ). \]
Из (5) выразим начальную скорость. Определим время подъёма диска до максимальной высоты.
\[ {{\upsilon }_{0}}=\omega \cdot R,\ 0={{\upsilon }_{0}}-a\cdot t,\ t=\frac{{{\upsilon }_{0}}}{a},\ t=\frac{2\cdot \omega \cdot R}{g\cdot \sin \alpha }\ \ \ (9). \]
t = 1,2 с.Построить график зависимости времени движения от угла наклона плоскости в пределах от α = 20° до α = 60°.
α = 20°,
t = 1,754 с, α = 30°,
t = 1,2 с, α = 40°,
t = 0,934 с, α = 50°,
t = 0,783 с, α = 60°,
t = 0,692 с.
