Рассчитайте длину волны де Бройля

[Антон Огурцевич]

Рассчитайте скорость υ, длину λ и частоту ν волны де Бройля для электрона, ускоренного разностью потенциалов U = 820 В.

[Сергей]

Решение.
Для решения задачи будут необходимы: h = 6,63∙10^-34 Дж∙с – постоянная Планка, m – масса покоя частицы, для электрона m = 9,1∙10^-31 кг, с = 3∙10⁸ м/с – скорость света, е = 1,6∙10^-19 Кл, е – модуль заряда электрона.
Оценим кинетическую энергию электрона и сравним ее с энергией покоя электрона.

Е_К = е∙U   (1), Е₀ = m∙с²   (2).

Е_К = 131,2∙10^-15 Дж, Е₀ = 81,9∙10^-15 Дж.
Энергия покоя сравнима с кинетической энергией электрона, имеет место релятивистский случай движения.
Длина волны де Бройля для релятивистской частицы определяется по формуле: 

\[ \lambda =\frac{h}{m\cdot \upsilon }\cdot \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}\ }\ \ \ \ (3). \]

Определим скорость электрона.

\[ e\cdot U=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2},\ \upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}}\ \ \ (4). \]

υ = 1,6988∙10⁷ м/с.
Подставим скорость в (1) определим длину волны де Бройля.

\[ \lambda =\frac{h}{\sqrt{2\cdot e\cdot m\cdot U}}\cdot \sqrt{1-\frac{2\cdot e\cdot U}{m\cdot {{c}^{2}}}\ }\ \ (5). \]

λ = 0,428∙10^-10 м.
Частоту определим по формуле:

\[ \nu =\frac{c}{\lambda }\ \ \ (6). \]

ν = 7∙10¹⁸ Гц.