Газ массой под давлением

[Антон Огурцевич]

Газ массой m под давлением р₁ занимал объем V₁. Газ сжимался изобарно до объема V₂, затем сжимался адиабатно и расширялся при постоянной температуре до начальных объема и давления. Построить график процесса. Найти: 1) температуру, давление и объем, соответствующие характерным точкам цикла; 2) количество теплоты Q₁, полученное газом от нагревателя; 3) количество теплоты Q₂, переданное газом охладителю; 4) работу А, совершенную газом за весь цикл; 5) термический КПД цикла. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1) температуру, давление и объем, соответствующие характерным точкам цикла;
Пункт 1. V₁ = 8 м³, р₁ = 140∙10³ Па.
Температуру определим используя уравнение Клапейрона Менделеева.

\[ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot {{T}_{1}},\ {{T}_{1}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}}\cdot M}{m\cdot R}\ \ \ (1). \]

Где: R = 8,31 Дж/моль∙К – универсальная газовая постоянная, М = 18∙10^-3 кг/моль, М – молярная масса водяного пара.
Т₁ = 808,66 К.
Пункт 2.1→2 - р = соnst, р₂ = 140∙10³ Па, V₂ = 3 м³.
Температуру определим используя уравнение Клапейрона Менделеева.

\[ {{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot {{T}_{2}},\ {{T}_{2}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}\cdot M}{m\cdot R}\ \ \ (2). \]

Т₂ = 303,25 К.
Пункт 3.
 Т₃ = Т₁ = 808,66 К. 2→ 3 – адиабатный процесс. Для адиабатного процесса определим показатель адиабаты.

\[ k=\frac{i+2}{i}\ \ \ (3). \]

Водяной пар трехатомный газ, i = 6, показатель адиабаты многоатомных газов k = 1,33.
Для адиабатного процесса справедливо уравнение:

Т∙V^k-1 = соnst   (4).

Определим объем V₃.

\[ {{T}_{2}}\cdot {{V}_{2}}^{k-1}={{T}_{3}}\cdot {{V}_{3}}^{k-1},\ {{(\frac{{{V}_{3}}}{{{V}_{2}}})}^{k-1}}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{3}}},\ {{V}_{3}}={{V}_{2}}\cdot \sqrt[k-1]{\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{3}}}}\ \ \ (5). \]

V₃ = 0,154 м³.
Определим р₃. Процесс 3→1 – изотермический.

\[ {{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}=\ {{p}_{1}}\cdot {{V}_{1}},\ {{p}_{3}}=\frac{{{p}_{1}}}{{{V}_{3}}}\cdot {{V}_{1}}\ \ \ (6). \]

р₃ = 7272,72∙10³ Па.
2) количество теплоты Q₁, полученное газом от нагревателя;
Газ получал количество теплоты на участке 3→1 – изотермический процес.
Определим работу на этом участке, Т = 808,66 К:

\[ \ {{A}_{31}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T\int\limits_{{{V}_{3}}}^{{{V}_{1}}}{\frac{1}{V}dV=}\ \frac{m}{M}\cdot R\cdot T\ \cdot \ln \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{3}}}\ \ \ \ (7). \]

А₃₁ = 4,43∙10⁶ Дж.

∆U₃₁ = 0, Q₃₁ = А₃₁,   (10).

Q₃₁ = 4,43∙10⁶ Дж.
3) количество теплоты Q₂, переданное газом охладителю;

Q₂ = Q₂₃ + Q₁₂   (12).

Q₂₃ = 0 – процесс адиабатный.
Определим Q₁₂ – процесс изобарный.Запишем первый закон термодинамики.

Q = А + ∆U   (13).

Работа совершаемоя этим газом при расширении при изобарном процессе определяется по формуле:

А₁₂ = ν∙R∙(Т₂ – Т₁)   (14).

Запишем формулу для вычисления изменения внутренней энергии:

\[ \Delta {{U}_{12}}=\frac{\iota }{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T\ \ (15). \]

Газ многоатомный i = 6, R = 8,31 Дж/моль∙К, R – универсальная газовая постоянная.

\[ {{Q}_{12}}={{A}_{12}}+\frac{6}{2}\cdot {{A}_{12}}=4\cdot {{A}_{12}}\ \ \ (16). \]

Q₁₂ = - 2,8∙10⁶Дж.
Q₂ = - 2,8∙10⁶Дж.
4) работу А, совершенную газом за весь цикл;

А = А₁₂ + А₂₃ + А₃₁   (17).

А₃₁ = 4,43∙10⁶ Дж.

\[ {{A}_{12}}=\frac{m}{M}\cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\ \ \ (18). \]

А₁₂ = -0,69∙10⁶ Дж.
Работа, совершённая газом при адиабатном процессе определяется по формуле:

\[ {{A}_{23}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot {{V}_{2}}}{k-1}\cdot (1-{{(\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{3}}})}^{k-1}})\ \ \ (19). \]

А₂₃ = -2,118∙10⁶ Дж.
А = 1,622∙10⁶ Дж.
5) термический КПД цикла.

\[ \eta =1-\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\ \ \ (20). \]

η = 62 %.