Найти внутреннее сопротивление генератора

[Антон Огурцевич]

Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R₁ = 5 Ом и R₂ = 0,2 Ом. Найти КПД генератора в каждом из этих случаев. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Запишем закон Ома для полной цепи и определим силы тока при разных значениях внешних сопротивлений:

\[ I=\frac{\xi }{R+r},\ {{I}_{1}}=\frac{\xi }{{{R}_{1}}+r}\ \ \ (1),\ {{I}_{2}}=\frac{\xi }{{{R}_{2}}+r}\ \ \ (2). \]

Запишем формулы для определения мощности во внешней цепи при разных значениях внешних сопротивлений:

\[ {{P}_{1}}=I_{1}^{2}\cdot {{R}_{1}},\ {{P}_{1}}={{(\frac{\xi }{{{R}_{1}}+r})}^{2}}\cdot {{R}_{1}}\ \ \ (3),\ {{P}_{2}}=I_{2}^{2}\cdot {{R}_{2}},\ {{P}_{2}}={{(\frac{\xi }{{{R}_{2}}+r})}^{2}}\cdot {{R}_{2}}\ \ \ (4). \]

По условию задачи известно, что мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при двух значениях внешнего сопротивления, определим внутреннее сопротивление генератора:

\[ \begin{align}
  & {{(\frac{\xi }{{{R}_{1}}+r})}^{2}}\cdot {{R}_{1}}={{(\frac{\xi }{{{R}_{2}}+r})}^{2}}\cdot {{R}_{2}}\ ,\ \frac{{{R}_{1}}}{{{({{R}_{1}}+r)}^{2}}}\ =\frac{{{R}_{2}}}{{{({{R}_{2}}+r)}^{2}}},\  \\
 & \frac{{{({{R}_{2}}+r)}^{2}}}{{{({{R}_{1}}+r)}^{2}}}=\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}\ ,\ \frac{({{R}_{2}}+r)}{({{R}_{1}}+r)}=\sqrt{\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}},\ ({{R}_{2}}+r)=({{R}_{1}}+r)\cdot \sqrt{\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}}, \\
 & r=\frac{{{R}_{1}}\cdot \sqrt{\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}}-{{R}_{2}}}{1-\sqrt{\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}}}\ \ \ \ (5). \\
\end{align} \]

r = 1 Ом.
Найти КПД генератора в каждом из этих случаев.

\[ \eta =\frac{R}{R+r},\ {{\eta }_{1}}=\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{1}}+r}\ \ \ \ (6),{{\eta }_{2}}=\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{2}}+r}\ \ \ (7\ ). \]

η₁ = 83,3 %, η₂ = 16,7 %.