Какая температура установится?

[Антон Огурцевич]

В калориметр, содержащий воду массой m₁ = 0,25 кг при температуре t₁ = 25 °С, впускают водяной пар массой m₂ = 10 г при температуре t₂ = 100 °С. Какая температура установится в калориметре, если его теплоёмкость С = 1000 Дж/К?

[Сергей]

Решение.
В задаче неизвестна конечная температура веществ, поэтому мы не можем сразу определить все фазовые переходы, которые произойдут с веществами. Необходим анализ условия, который проведем по следующему плану:
1. Определим энергию которая выделится при конденсации пара.
Q - количество теплоты которое выделяется при конденсации водяного пара при температуре t₂ = 100 °С, L = 2,3∙10⁶ Дж/кг – удельная теплота парообразования воды. 

\[ Q=L\cdot {{m}_{2}}\ . \]

Q = 23000 Дж.
2. Определим температуру до которой нагреется колориметр и вода взятые при 25 °С энергией которая выделится при конденсации пара.

\[ \begin{align}
  & Q={{c}_{B}}\cdot {{m}_{1}}\cdot (t-25)+C\cdot (t-25),\ Q={{c}_{B}}\cdot {{m}_{1}}\cdot t-{{c}_{B}}\cdot {{m}_{1}}\cdot 25+C\cdot t-C\cdot 25, \\
 & t=\frac{Q+{{c}_{B}}\cdot {{m}_{1}}\cdot 25+C\cdot 25}{{{c}_{B}}\cdot {{m}_{1}}+C}. \\
\end{align} \]

t = 36,22 °С.
Если эта температура меньше 100 °С составим уравнение теплового баланса и определим температуру теплового равновесия.
Составим уравнение теплового баланса:

Q₁ + Q₂ + Q₃ + Q₄ = 0   (1).

Q₁- количество теплоты которое получит калориметре при нагревании от t₁ = 25 °С до температуры теплового равновесия t_р.

\[ {{Q}_{1}}=C\cdot ({{t}_{p}}-{{t}_{1}})\ \ \ (2). \]

Q₂ – количество теплоты которое необходимо для нагревания воды t₁ = 25 °С до температуры теплового равновесия t_р, св = 4200 Дж/кг ∙°С– удельная теплоемкость воды.

\[ {{Q}_{2}}={{c}_{B}}\cdot {{m}_{1}}\cdot ({{t}_{p}}-{{t}_{1}})\ \ \ (3). \]

Q₃ - количество теплоты которое выделяется при конденсации водяного пара при температуре t₂ = 100 °С, L = 2,3∙10⁶ Дж/кг – удельная теплота парообразования воды. 

\[ {{Q}_{3}}=-L\cdot {{m}_{2}}\ \ \ (4). \]

Q₄ - количество теплоты которое выделится при остывании воды полученной из водяного пара от t₂ = 100 °С до температуры теплового равновесия t_р, с_в = 4200 Дж/кг ∙°С– удельная теплоемкость воды.

\[ {{Q}_{4}}={{c}_{B}}\cdot {{m}_{2}}\cdot ({{t}_{p}}-{{t}_{2}})\ \ \ (5). \]

Подставим (2), (3), (4) и (5) в (1) и выразим температуру теплового равновесия t_р.

\[ \begin{align}
  & C\cdot ({{t}_{p}}-{{t}_{1}})+{{c}_{B}}\cdot {{m}_{1}}\cdot ({{t}_{p}}-{{t}_{1}})\ -L\cdot {{m}_{2}}+{{c}_{B}}\cdot {{m}_{2}}\cdot ({{t}_{p}}-{{t}_{2}})=0. \\
 & C\cdot ({{t}_{p}}-25)+{{c}_{B}}\cdot {{m}_{1}}\cdot {{t}_{p}}\ -{{c}_{B}}\cdot {{m}_{1}}\cdot 25\ -L\cdot {{m}_{2}}+{{c}_{B}}\cdot {{m}_{2}}\cdot {{t}_{p}}-{{c}_{B}}\cdot {{m}_{2}}\cdot 100=0. \\
 & {{t}_{p}}=\frac{100\cdot {{c}_{B}}\cdot {{m}_{2}}+L\cdot {{m}_{2}}+C\cdot 25+{{c}_{B}}\cdot {{m}_{1}}\cdot 25}{C+{{c}_{B}}\cdot {{m}_{1}}+{{c}_{B}}\cdot {{m}_{2}}}. \\
\end{align}
 \]

t_р = 37,5 °С.

[Антон Огурцевич]

Сергей))) Возможна такая ситуация, когда конденсируется не весь пар, а лишь его часть. Это происходит в том случае, если пара много, и теплоты, выделившейся в результате конденсации его части, достаточно для нагревания воды и калориметра до 100 0С. В этом случае задачу надо было бы решать по-другому.

[Сергей]

В задачах на тепловой баланс с неизвестной температурой смеси и возможными фазовыми переходами нельзя сразу писать уравнение теплового баланса, т.к. не известно - фазовый переход пройдет полностью или нет.
Вначале желательно сделать анализ энергий, а уже потом определять возможные процессы.
Анализ энергий может быть проведен разными способами.
Если пар конденсируется не весь, то температура в анализе вышла больше 100°С и в задаче сразу пишем ответ  100°С.