Решение: Освещённость поверхности рассчитывается по формуле
\[ E=\frac{I}{{{r}^{2}}}\cdot \cos \alpha , \]
где I - сила света лампы, r – расстояние до точки поверхности (расстояние до края стола), α – угол падения лучей. Пусть h – высота лампы над столом, тогда, воспользовавшись теоремой Пифагора и понятием косинуса (см. рис.)
\[ r=\sqrt{{{h}^{2}}+{{\left( \frac{D}{2} \right)}^{2}}},\text{ }\cos \alpha =\frac{h}{r}=\frac{h}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{\frac{D}{4}}^{2}}}}. \]
Таким образом зависимость освещённости от высоты лампы
\[ E=\frac{I}{{{\left( \sqrt{{{h}^{2}}+{{\frac{D}{4}}^{2}}} \right)}^{2}}}\cdot \frac{h}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{\frac{D}{4}}^{2}}}}=\frac{I\cdot h}{{{\left( {{h}^{2}}+{{\frac{D}{4}}^{2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}. \]
Исследуем функцию на максимум (возьмём первую производную, приравняем её к нулю и определим точку экстремума, h больше нуля и для удобства расчётов подставим диаметр стола D = 2 м)
\[ {E}'={{\left( \frac{I\cdot h}{{{\left( {{h}^{2}}+1 \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\prime }}=\frac{I\cdot \left( 2\cdot {{h}^{2}}-1 \right)}{{{\left( {{h}^{2}}+1 \right)}^{\frac{5}{2}}}}. \]
Знаменатель в ноль не обращается, тогда
\[ 2\cdot {{h}^{2}}-1=0,\text{ }2\cdot {{h}^{2}}=1,\text{ }h=\frac{1}{\sqrt{2}}=0,71. \]
Ответ: h = 71 см.
