Определить полное ускорение точки

[Антон Огурцевич]

Определить полное ускорение точки в момент времени 3 с, находящейся на ободе колеса радиусом 0,5 м, вращающегося согласно уравнению  φ = А∙t + B∙t³, где А = 2 рад/с, В = 1,2 рад/с³. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Первая производная от углового перемещения есть угловая скорость:

\[ \omega (t)=\varphi {{(t)}^{\prime }}={{(2\cdot t+1,2\cdot {{t}^{3}})}^{\prime }}=2+3,6\cdot {{t}^{2}},\ \omega (t)=\ 2+3,6\cdot {{t}^{2}}\ \ (1).
 \]

ω(3) = 34,4 рад/с. 
Тангенциальное ускорение найдем как вторую производную от φ по t:

\[ {{a}_{\tau }}=\varphi {{(t)}^{\prime \prime }}={{(2\cdot t+1,2\cdot {{t}^{3}})}^{\prime \prime }}=7,2\cdot t\ \ \ (2). \]

а_τ = 21,6 м/с². 
Нормальное ускорение определим по формуле:

\[ {{a}_{n}}={{\omega }^{2}}\cdot R\ \ \ (3)\ . \]

а_n = 591,68 м/с².
Полное ускорение определим по формуле:

\[ a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2}}\ \ \ (4). \]

а = 592,074 м/с².