Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию. Кинетическая энергия состоит из энергии поступательного движения и энергии вращательного движения.
\[ m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot {{\upsilon }_{}}^{2}}{2}+\frac{J\cdot {{\omega }^{2}}}{2}\ \ \ (1). \]
h – высота с которой спускается тело (см. рис.), υ – скорость тела через время
t, J – момент инерции тела, ω – угловая скорость вращения тела.
В конце спуска угловая скорость связана с линейной скоростью:
\[ \omega =\frac{\upsilon }{R}\ \ \ (2). \]
Определим скорость центра масс шара через время
t. Момент инерции однородного (сплошного) шара определяется по формуле:
\[ J=\frac{2\cdot m\cdot {{R}^{2}}}{5}\ \ \ (3). \]
Высоту с которой скатывается тело определим по формуле:
\[ h=l\cdot \sin \alpha ,\ l=\frac{\upsilon +{{\upsilon }_{0}}}{2}\cdot t,\ {{\upsilon }_{0}}=0,\ l=\frac{\upsilon }{2}\cdot t,\ h=\frac{\upsilon }{2}\cdot t\cdot \sin \alpha \ \ \ (4). \]
Подставим (4) (3) и (2) в (1):
\[ \begin{align}
& m\cdot g\cdot \frac{\upsilon }{2}\cdot t\cdot \sin \alpha =\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{2\cdot m\cdot {{R}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{5\cdot 2\cdot {{R}^{2}}},\ g\cdot \frac{\upsilon }{2}\cdot t\cdot \sin \alpha =\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{2\cdot {{\upsilon }^{2}}}{5\cdot 2},\ \\
& g\cdot t\cdot \sin \alpha =\upsilon +\frac{2\cdot \upsilon }{5},\ g\cdot t\cdot \sin \alpha =\frac{7\cdot \upsilon }{5},\ \upsilon =\frac{5\cdot g\cdot t\cdot \sin \alpha }{7}\ \ \ \ (5). \\
\end{align} \]
Кинетическую энергию шара
Т через
t = 1,6 с после начала движения определим по формуле:
\[ \begin{align}
& T=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{J\cdot {{\omega }^{2}}}{2},\ T=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{2\cdot m\cdot {{R}^{2}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{5\cdot 2\cdot {{R}^{2}}},T=\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}+\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{5},\ \\
& T=\frac{7}{10}\cdot m\cdot {{\upsilon }^{2}},\ T=\frac{7}{10}\cdot m\cdot {{(\frac{5\cdot g\cdot t\cdot \sin \alpha }{7})}^{2}},\ T=\frac{5}{14}\cdot m\cdot {{(g\cdot t\cdot \sin \alpha )}^{2}}. \\
\end{align} \]
Т = 114,29 Дж.
