Решение.
Кинетическая энергия молота перейдет в кинетическую энергию совместного движения молота наковальни и куска мягкого железа и на нагревание тел и деформацию мягкого куска железа. Запишем формулу для определения КПД неупругого удара.
\[ \eta =\frac{{{W}_{m}}-{{W}_{Nm}}}{{{W}_{Nm}}}\ \ \ (1). \]
Wm – кинетическая энергия молота,
WNm – кинетическая энергия молота и наковальни.
Wm - WNm – энергия которая пошла на деформацию куска железа.
Запишем формулы для определения кинетической энергии молота и наковальни.
\[ {{W}_{m}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}\ \ \ (2),\ {{W}_{Nm}}=\frac{(m+M)\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}\ \ \ (3).
\]
Для определения скорости совместного движения молота и наковальни используем закон сохранения импульса для неупругого взаимодействия. Покажем рисунок.
\[ m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}=(m+M)\cdot \vec{\upsilon }. \]
Находим проекции на ось
Ох:
\[ m\cdot {{\upsilon }_{1}}=(m+M)\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{m\cdot {{\upsilon }_{1}}}{m+M}\ \ \ (5). \]
(5) подставим в (3) (3) и (2) подставим в (1) определим КПД.
\[ \begin{align}
& {{W}_{Nm}}=\frac{(m+M)\cdot m_{{}}^{2}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2\cdot {{(m+M)}^{2}}}=\frac{m_{{}}^{2}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2\cdot (m+M)}\ \ \ (5).\ \ \\
& \eta =\frac{\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}-\frac{m_{{}}^{2}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2\cdot (m+M)}}{\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}}=1-\frac{m}{(m+M)}\ \ (6). \\
\end{align} \]
η = 97,4 %.
