Найти среднюю плотность сжатого воздуха в рудничной воздухопроводной сети

[Антон Огурцевич]

Найти среднюю плотность сжатого воздуха в рудничной воздухопроводной сети, если давление воздуха в компрессоре составляет p₁ = 7∙10⁵ Па, а давление у воздухоприёмников p₂ = 6∙10⁵ Па. Температура воздуха в начале и конце сети равна t₁ = 27 °С и t₂ = 27 °С. Молярная масса воздуха равна M = 0,029 кг/моль. Ответ: 7,8 кг/м³. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Для решения задачи потребуется R = 8,31 Дж/моль∙К – универсальная газовая постоянная. Из уравнения Клапейрона – Менделеева для идеального газа выразим ρ₁ и ρ₂:

\[ \begin{align}
  & pV=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T,\ {{p}_{1}}=\frac{{{m}_{1}}}{M\cdot {{V}_{1}}}\cdot R\cdot {{T}_{1}},\ {{\rho }_{1}}\ =\frac{{{m}_{1}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot M}{R\cdot {{T}_{1}}}\ \ (1), \\
 & \ {{p}_{2}}=\frac{{{m}_{2}}}{M\cdot {{V}_{2}}}\cdot R\cdot {{T}_{2}}\ ,\ {{\rho }_{2}}\ =\frac{{{m}_{2}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{p}_{2}}\cdot M}{R\cdot {{T}_{2}}}\ \ \ (2),\ \  \\
 & \left\langle \rho  \right\rangle =\frac{{{\rho }_{1}}+{{\rho }_{2}}}{2}\ \ \ (3),\ \left\langle \rho  \right\rangle =\frac{\frac{{{p}_{2}}\cdot M}{R\cdot {{T}_{2}}}+\frac{{{p}_{1}}\cdot M}{R\cdot {{T}_{1}}}}{2}\ =\frac{M}{2\cdot R}\cdot (\frac{{{T}_{1}}\cdot {{p}_{2}}+{{T}_{2}}\cdot {{p}_{1}}}{{{T}_{2}}\cdot {{T}_{1}}})\ \ \ (4). \\
\end{align} \]

Т₁ = (273 + 27) К = 300 К, Т₂ = (273 + 7) К = 280 К.
ρ = 7,81 кг/м³.