Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом

[Антон Огурцевич]

Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По проводнику течет ток силой I = 100 А. Вычислить магнитную индукцию поля в точках, лежащих на биссектрисе угла и удалённых от вершины на r = 100 см. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Направление вектора магнитной индукции в точке лежащей на биссектрисе угла и удалённых от вершины на 100 см. определим по правилу буравчика. В точке О результирующий вектор магнитной индукции направлен от нас. Применим принцип суперпозиции.

\[ \vec{B}={{\vec{B}}_{1}}+{{\vec{B}}_{2}},\ Ox:\ B={{B}_{1}}+{{B}_{2}}\ \ \ (1). \]

Для решения задачи используем закон Био -  Савара -  Лапласа. Индукция магнитного поля в произвольной точке О, созданного отрезком проводника с током конечной длины, определяется по формуле:

\[ B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos {{\alpha }_{1}}-\cos {{\alpha }_{2}})\ \ \ (2). \]

Где: R - расстояние от т. О до проводника; – α₁ и α₂ углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т. О соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.
μ₀ = 4∙π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная.
Определим В₁.
α2 = 45°, α1 = 0° (провод бесконечно длинный).

\[ {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos 0-\cos 45),\ {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (1-\frac{\sqrt{2}}{2})\ \ \ (3). \]

Определим В₂.
β₂ = 180°,(провод бесконечно длинный). β₁ = 135° .

\[ {{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos 135-\cos 180),{{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}+1)\ \ \ \ (4). \]

Определим расстояние от проводника до точки О:
 

R = r∙sinα₂   (5).

(4) подставим в (2) и (3) (2) и (3) подставим в (1) определим результирующий вектор магнитной индукции:

\[ B=\frac{2\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot (1-\frac{\sqrt{2}}{2}),B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot r\cdot \sqrt{2}}\cdot (1-\frac{\sqrt{2}}{2})\ \ \ \ \ (6). \]

В = 0,836∙10^-5 Тл.

[Сергей]

Вторая точка.
Определим В₁.
α₂ = 135°, α₁ = 0° (провод бесконечно длинный).

\[ {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos 0-\cos 135),\ {{B}_{1}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (1+\frac{\sqrt{2}}{2})\ \ \ (3). \]

Определим В₂.
β₂ = 180°,(провод бесконечно длинный). β₁ = 45° .

\[ {{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\cos 45-\cos 180),{{B}_{2}}=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot R}\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}+1)\ \ \ \ (4). \]

Определим расстояние от проводника до точки О:

R = r∙sinβ₁      (5).

(4) подставим в (2) и (3) (2) и (3) подставим в (1) определим результирующий вектор магнитной индукции:

\[ B=\frac{2\cdot {{\mu }_{0}}\cdot I}{4\cdot \pi \cdot r\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot (1+\frac{\sqrt{2}}{2}),B=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot I}{\pi \cdot r\cdot \sqrt{2}}\cdot (1+\frac{\sqrt{2}}{2})\ \ \ \ \ (6). \]

В = 48,3∙10^-6 Тл.