Решение.
Коэффициент динамической вязкости газа определяется по формуле:
\[ \eta =\frac{1}{3}\cdot \rho \cdot \upsilon \cdot l\ \ \ \ (1),\ \frac{\eta ({{O}_{2}})}{\eta ({{N}_{2}})}=\frac{{{\rho }_{K}}\cdot {{\upsilon }_{K}}\cdot {{l}_{K}}}{{{\rho }_{A}}\cdot {{\upsilon }_{A}}\cdot {{l}_{A}}}\ \ \ (2). \]
ρ – плотность газа, υ – средняя арифметическая скорость молекул газа,
l – средняя длина свободного пробега молекулы.
Плотность газа определим используя уравнение Клапейрона – Менделеева.
\[ \begin{align}
& p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T,\ \rho =\frac{m}{V},\ p=\frac{m\cdot R\cdot T}{V\cdot M},\ p=\frac{\rho \cdot R\cdot T}{M},\ \ \rho =\frac{M\cdot p}{R\cdot T}\ \ \ (3). \\
& {{\rho }_{K}}=\frac{{{M}_{K}}\cdot p}{R\cdot T}\ \ \ (4),\ {{\rho }_{A}}=\frac{{{M}_{A}}\cdot p}{R\cdot T}\ \ \ (5). \\
\end{align} \]
Средняя арифметическая скорость определяется по формуле:
\[ \upsilon =\sqrt{\frac{8\cdot R\cdot T}{\pi \cdot M}}\ \ \ (6),\ {{\upsilon }_{K}}=\sqrt{\frac{8\cdot R\cdot T}{\pi \cdot {{M}_{K}}}}\ \ \ (7),\ {{\upsilon }_{A}}=\sqrt{\frac{8\cdot R\cdot T}{\pi \cdot {{M}_{A}}}}\ \ \ (8\ ). \]
Средняя длина свободного пробега молекулы определяется по формуле:
\[ l=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \pi \cdot {{d}^{2}}\cdot n}\ \ \ (9). \]
n – концентрация молекул газа.
Концентрацию молекул газа определим по формуле:
\[ p=n\cdot k\cdot T,\ n=\frac{p}{k\cdot T}\ \ (10\ ). \]
k – постоянная Больцмана,
k = 1,38∙10
-23 Дж/К.
Подставим (10) в (9) определим длину свободного пробега молекул газов кислорода и азота:
\[ l=\frac{k\cdot T}{\sqrt{2}\cdot \pi \cdot {{d}^{2}}\cdot p}\ ,\ {{l}_{K}}=\frac{k\cdot T}{\sqrt{2}\cdot \pi \cdot {{d}_{K}}^{2}\cdot p}\ \ \ \ (11),\ {{l}_{A}}=\frac{k\cdot T}{\sqrt{2}\cdot \pi \cdot {{d}_{A}}^{2}\cdot p}\ \ \ \ (12). \]
Где:
МК – малярная масса молекулы кислорода,
МК = 32∙10
-3 кг/моль,
МА – малярная масса молекулы азота,
МА = 28∙10
-3 кг/моль,
R = 8,31 Дж/моль∙К – универсальная газовая постоянная,
d – эффективный диаметр молекулы (справочные данные) ,
dК = 0,356∙10
-9 м,
dА = 0,37∙10
-9 м.
(4) (5) (7) (8 ) (11) и (12) подставим в (2), определим во сколько раз коэффициент внутреннего трения кислорода больше коэффициента внутреннего трения азота.
\[ \frac{\eta ({{O}_{2}})}{\eta ({{N}_{2}})}=\frac{\frac{{{M}_{K}}\cdot p}{R\cdot T}\cdot \sqrt{\frac{8\cdot R\cdot T}{\pi \cdot {{M}_{K}}}}}{\frac{{{M}_{A}}\cdot p}{R\cdot T}\cdot \sqrt{\frac{8\cdot R\cdot T}{\pi \cdot {{M}_{A}}}}}\cdot \frac{\frac{k\cdot T}{\sqrt{2}\cdot \pi \cdot {{d}_{K}}^{2}\cdot p}}{\frac{k\cdot T}{\sqrt{2}\cdot \pi \cdot {{d}_{A}}^{2}\cdot p}}\ =\frac{{{M}_{K}}\cdot \sqrt{{{M}_{A}}}}{{{M}_{A}}\cdot \sqrt{{{M}_{K}}}}\cdot \frac{{{d}_{A}}^{2}}{{{d}_{K}}^{2}}=\frac{\sqrt{{{M}_{K}}}}{\sqrt{{{M}_{A}}}}\cdot \frac{{{d}_{A}}^{2}}{{{d}_{K}}^{2}}. \]
η(
О2)/η(
N2) = 1,155.
