Через какое время тело упадёт на землю?

[Антон Огурцевич]

Вертикально вверх с высоты 392 м с начальной скоростью 19,6 м/с брошено тело. Через какое время оно упадёт на землю? Сделать рисунок.

[Эдуард]

Направим ось Оу вертикально вверх, начало оси совместим с точкой падения. Тогда у₀ = h, υ_0у = υ₀, g_y = - g. Тогда  уравнение выражающее зависимость скорости тела от времен, будет иметь вид:
 

υ = υ₀ - g⋅t (1)

Обозначим t₁ – время подъема тела, t₂ – время подъема тела. Время, через которое тело упадет от момента броска \[ t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}. \]
В точке максимального подъема  скорость тела υ = 0, согласно (1) найдем время подъема t₁
\[ {{t}_{1}}=\frac{{{\vartheta }_{0}}}{g}= 2 c; \]
Пройденный путь с момента броска до максимального подъема
\[ H-h=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}.  \]
Откуда найдем \[ H=h+\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}=392+\frac{9,8\cdot {{2}^{2}}}{2}=411,6 м. \]
Пройденный путь с точки максимального подъема до падения \[ H =\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2}.
 \]
Откуда найдем время падения t₂: \[ {{t}_{2}}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 411,6}{9,8}}=\sqrt{84}=9,2 c. \]
\[ t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}= 2 + 9,2 = 11,2 с. \]

[Виктор]

Решение: решим задачу координатным методом. Систему отсчёта выберем следующую: начало отсчёта – поверхность земли, координатная ось OY направлена вертикально вверх (см. рис.). По условию: тело на высоте 392 м, т.е. начальная координата тела y₀ = 392 м, бросают вертикально вверх, т.е. проекция начальной скорости на выбранную координатную ось равна υ_0y = 19,6 м/с, тело движется с ускорением свободного падения, направленным вертикально вниз, т.е. проекция ускорения равна g_y = – 9,8 м/с². Запишем кинематическое уравнение движения тела
\[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{0y}}\cdot t+\frac{{{g}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2}. \]
В момент касания поверхности земли координата y = 0, найдём время па-дения (решим квадратное уравнение относительно времени)
\[ \frac{{{g}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2}+{{\upsilon }_{0y}}\cdot t+{{y}_{0}}=0, \]
\[ {{t}_{1,2}}=\frac{-{{\upsilon }_{0y}}\pm \sqrt{{{\upsilon }_{0y}}^{2}-2\cdot {{g}_{y}}\cdot {{y}_{0}}}}{{{g}_{y}}}. \]
После подстановки числовых данных, отбрасываем отрицательный корень
Ответ: 11,2 с.