На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами

[Антон Огурцевич]

На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ₁ и σ₂ (см. рисунок 0.5). Постройте график сквозной зависимости напряжённости электрического поля от расстояния до общей оси цилиндров Е(r) для трёх областей: I – внутри меньшего цилиндра, II – между цилиндрами и III – за пределами большего цилиндра. Здесь: Е - напряжённость электрического поля в точке наблюдения, r – расстояние от оси цилиндров до точки наблюдения. Принять σ₁ = –σ, σ₂ = 4σ. Вычислите напряжённость поля в точке, удалённой от оси цилиндров на расстояние r, и покажите на рисунке направление вектора напряжённости поля в этой точке. Принять σ = 30 нКл/м², r = 4R. Сделать рисунки.

[Виктор]

Решение: воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса: поток век-тора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заряду, заключенному в ней:
\[ \oint _{S}\vec{E}\cdot d\vec{S} =\frac{1}{\varepsilon _{0} } \cdot Q,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; }E\cdot S=\frac{Q}{\varepsilon _{0} } \cdot \]
Здесь ε₀ = 8,85 ∙ 10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.
      В качестве замкнутых поверхностей через которые следует вычислять поток поля следует возьмём соосный цилиндр высотой L.  Для оснований цилиндров E =0, для боковой поверхности зависит от расстояния r. Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра. В этом случае площадь цилиндрического контура на расстоянии x от центра и зависимость напряжённости от расстояния
\[ \begin{array}{l} {S={\rm \; }2\pi \cdot x\cdot L,{\rm \; \; \; \; \; \; }E\cdot 2\pi \cdot x\cdot L=\frac{Q}{\varepsilon _{0} } ,} \\ {E=\frac{Q}{2\pi \cdot \varepsilon _{0} \cdot L\cdot x} \cdot } \end{array} \]
Осталось найти заряд Q внутри цилиндра для трёх случаев:
1.   0 < x < R, т.е внутри первого цилиндра, тогда заряд внутри равен нулю, т.е. E₁ = 0.
2.   R ≤ x < 2R, между цилиндрами, заряд внутри равен заряду на внутреннем цилиндре
\[ \begin{array}{l} {Q=\sigma _{1} \cdot 2\pi \cdot R\cdot L,} \\ {E_{2} =-\frac{\sigma \cdot R}{\varepsilon _{0} \cdot x} .} \end{array} \]
3.   x ≥ 2R, вне цилиндров, заряд внутри равен заряду на обоих цилиндрах
\[ \begin{array}{l} {Q=\sigma _{1} \cdot 2\pi \cdot R\cdot L+\sigma _{2} \cdot 2\pi \cdot 2\cdot R\cdot L,} \\ {E_{3} =\frac{\sigma _{1} \cdot R+2\cdot \sigma _{2} \cdot R}{\varepsilon _{0} \cdot x} =\frac{R\cdot \left(\sigma _{1} +2\cdot \sigma _{2} \right)}{\varepsilon _{0} \cdot x} =\frac{7\cdot \sigma \cdot R}{\varepsilon _{0} \cdot x} .} \end{array} \]
Таким образом, зависимость E(r) напряженности электрического поля от расстояния до оси в общем виде:
\[ E(x)=\left\{\begin{array}{l} {0,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }x<R} \\ {-\frac{\sigma \cdot R}{\varepsilon _{0} \cdot x} ,{\rm \; \; \; \; \; }R\le x<2R;} \\ {\frac{7\cdot \sigma \cdot R}{\varepsilon _{0} \cdot x} ,{\rm \; \; \; \; }x\ge 2R.} \end{array}\right.   \]
После подстановки числовых данных

\[ E(x)=\left\{\begin{array}{l} {0,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }x<R} \\ {-3,4\cdot 10^{3} \cdot \frac{R}{x} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; }R\le x<2R;} \\ {23,7\cdot 10^{3} \cdot \frac{R}{x} ,{\rm \; \; \; \; \; \; \; \; \; }x\ge 2R.} \end{array}\right.   \]
Напряжённость в точке x = 4R:
  \[ E=23,7\cdot 10^{3} \cdot \frac{R}{4\cdot R} =5,93\cdot 10^{3}.  \]
E = 5,9 кВ/м, направление на рисунке (E)
Рассчитаем крайние точки графика
Область 2: R ≤ x < 2R,
График начинается из точки
 \[ x=R,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E(x)=-3,4\cdot 10^{3} \cdot \frac{R}{R} =-3,4\cdot 10^{3} \]
График асимптотически приближается к точке (данная точка не принадлежит графику)
\[ x=2R,{\rm \; \; \; \; \; \; \; }E(x)=-3,4\cdot 10^{3} \cdot \frac{R}{2R} =-1,7\cdot 10^{3}. \]
Область 3: x ≥ 2R,
График начинается из точки
\[ x=2R,{\rm \; \; \; }E(x)=23,7\cdot 10^{3} \cdot \frac{R}{2R} =11,85\cdot 10^{3}. \]
И асимптотически приближается к нулю.
График зависимости см. на рисунке