Медный шарик радиусом

[Антон Огурцевич]

Задачка из Украины. Методические указания по физике. Харьков 2015 год.
Мідну кульку з радіусом r=1,0 см з чорною поверхнею помістили до вакуумної посудини, температура стінок якої підтримується при 0 К. Початкова температура кульки Т₀=300 К. Через який час його температура зменшиться в 1,5 рази? Теплоємність міді с = 0,38 Дж/(г К), густина ρ = 8,9 г/см³.
Мой перевод с мовы:
Медный шарик радиусом r = 1,0 см с чёрной поверхностью поместили в вакуумной ёмкости, температура стенок которой поддерживается при 0 К. Начальная температура шарика Т₀ = 300 К. Через какое время его температура уменьшится в 1,5 раза? Теплоёмкость меди с = 0,38 Дж/(г*К), плотность ρ = 8,9 г/см³. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: энергия, излучаемая поверхностью тела S за время dt равна
\[ dW=R\cdot S\cdot dt.  \]
По закону Стефана-Больцмана энергетическая  светимость R абсолютно черного тела
\[ R=\sigma \cdot T^{4}, \]
здесь T – абсолютная температура, σ = 5,67•10^–8 Вт/(м²•К⁴) – постоянная Стефана-Больцмана. S – площадь поверхности шара.
\[ S=4\pi \cdot r^{2}. \]
Таким образом, энергия, излучаемая шариком
\[ dW=\sigma \cdot T^{4} \cdot 4\pi \cdot r^{2} \cdot dt \]
Т.к. шарик помещён в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается постоянной (T = 0 K), то шарик излучает энергию, а не поглощает, т.е. количество теплоты dQ теряемое шариком при охлаждении на dT за время dt равно энергии
\[ dQ=-dW. \]
Знак минус говорит о том, что dT – отрицательное число (охлаждение). Элементарное количество теплоты
\[ dQ=c\cdot m\cdot dT, \]
Где c - удельная теплоёмкость, m – масса шарика
\[ m=\rho \cdot V=\rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{3}. \]
Таким образом, получаем следующее
\[ c\cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^{3} \cdot dT=-\sigma \cdot T^{4} \cdot 4\pi \cdot r^{2} \cdot dt, \]
\[ dt=-\frac{c\cdot \rho \cdot r}{3\cdot \sigma \cdot T^{4} } \cdot dT. \]
Проинтегрируем выражение , чтобы найти искомое время
\[ \int _{0}^{\tau }dt =-\int _{T_{0}}^{T}\frac{c\cdot \rho \cdot r}{3\cdot \sigma \cdot T^{4}} \cdot dT . \]
\[ \tau =-\frac{c\cdot \rho \cdot r}{3\cdot \sigma } \cdot \left(\left. \frac{T^{-3}}{-3} \right|_{T_{0}}^{T} \right), \]
\[ \tau =\frac{c\cdot \rho \cdot r}{9\cdot \sigma } \cdot \left(\frac{1}{T^{3}} -\frac{1}{T_{0}^{3}} \right)=\frac{c\cdot \rho \cdot r}{9\cdot \sigma } \cdot \left(\frac{n^{3} }{T_{0}^{3}} -\frac{1}{T_{0}^{3}} \right), \]
\[ \tau =\frac{c\cdot \rho \cdot r}{9\cdot \sigma \cdot T_{0}^{3} } \cdot \left(n^{3} -1\right). \]
\[ \tau =\frac{0,38\cdot 10^{3} \cdot 8,9\cdot 10^{3} \cdot 1\cdot 10^{-2} }{9\cdot 5,67\cdot 10^{- 8} \cdot 300^{3} } \cdot \left(1,5^{3} -1\right)=5,83\cdot 10^{3}. \]
Ответ: 5,83∙10³ с = 97,16 мин = 1,62 ч.