В12. Вариант 1. В однородном магнитном поле модуль индукции которого B = 150 мТл, находятся два длинных вертикальных проводника, расположенных в плоскости, перпендикулярной линиям индукции (см. рис. 1). Расстояние между проводниками l = 20,0 см. Проводники в верхней части подключены к конденсатору, ёмкость которого C = 2,00 Ф. По проводникам может скользить без трения и без нарушения контакта горизонтальный проводящий стержень массой m = 1,80 г. Если электрическое сопротивление всех проводников пренебрежимо мало, то, когда из состояния покоя стержень сместится вниз на расстояние h = 2,00 см, кинетическая энергия Ek стержня будет равна ... мкДж.
В12. Вариант 2. В однородном магнитном поле, модуль индукции которого B = 400 мТл, находятся два длинных вертикальных проводника, расположенных в плоскости, перпендикулярной линиям индукции (см. рис. 1). Расстояние между проводниками l = 10,0 см, проводники в верхней части подключены к конденсатору, ёмкость которого C = 1,00 Ф. По проводникам может скользить без трения горизонтальный проводящий стержень массой m = 4,00 г. Если электрическое сопротивление всех проводников пренебрежимо мало, то, когда из состояния покоя стержень сместится вниз на расстояние h = 1,40 см, кинетическая энергия Ek, стержня будет равна... мкДж.
Решение. Кинетическая энергия Еk, стержня находится по формуле:
\[E_{k} =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} ,\; \; \; (1)\]
где υ1 — скорость, которую приобрел стержень, пройдя расстояние h.
Стержень начинает двигаться из состояния покоя. При движении стержня в контуре возникает ЭДС индукции, которая приводит к появлению электрического тока и на перемычку начинает действовать сила Ампера. По правилу Ленца индукционный ток противодействует движению перемычки, сила Ампера направлена против силы тяжести.
Применим второй закон Ньютона и найдем проекции сил и ускорения на ось 0Y, направленную вниз:
\[m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{A} =m\cdot \vec{a},\; \; \; m\cdot g-F_{A} =m\cdot a.\; \; \; \left(2\right)\]
Найдем силу Ампера
\[F_{A} =B\cdot I_{i} \cdot l.\]
Сила тока, по определению, равна
\[I_{i} =\frac{\Delta q}{\Delta t} .\]
За время Δt заряд на конденсаторе менялся от 0 до q (т.е. Δq = q), где заряд q можно найти так:
\[q=U\cdot C,\; \; \; U=E_{i} =B\cdot l\cdot \upsilon _{1} ,\; \; \; \upsilon _{1} =a\cdot \Delta t,\]
где Ei — ЭДС индукции движущегося проводника. Тогда
\[F_{A} =B\cdot l\cdot \frac{\Delta q}{\Delta t} =B\cdot l\cdot \frac{U\cdot C}{\Delta t} =B\cdot l\cdot C\cdot \frac{B\cdot l\cdot \upsilon _{1} }{\Delta t} =B^{2} \cdot l^{2} \cdot C\cdot a.\; \; \; \left(3\right)\]
Ускорение a можно найти через перемещение стержня h (υ0 = 0):
\[h=\frac{\upsilon _{1}^{2} }{2a} ,\; \; \; a=\frac{\upsilon _{1}^{2} }{2h} .\; \; \; (4)\]
Подставим уравнения (3) - (4) в (2) и найдем скорость υ1:
\[m\cdot g-B^{2} \cdot l^{2} \cdot C\cdot \frac{\upsilon _{1}^{2} }{2h} =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2h} ,\; \; \; \upsilon _{1}^{2} =\frac{2h\cdot m\cdot g}{m+B^{2} \cdot l^{2} \cdot C} .\]
Подставим полученное выражение в (1):
\[E_{k} =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} =\frac{h\cdot m^{2} \cdot g}{m+B^{2} \cdot l^{2} \cdot C} ,\]
Вариант 1
Еk = 180∙10–6 Дж.
Ответ: 180 мкДж.
Вариант 2
Еk = 400∙10-6 Дж.
Ответ: 400 мкДж.
Примечание. Не задана длина стержня (расстояние между вертикальными проводниками не является длиной стержня).
