На два последовательно соединённых воздушных конденсатора

[Антон Огурцевич]

На два последовательно соединённых воздушных конденсатора с ёмкостью С = 40 мкФ подано напряжение Е = 10 В. Не отключая источника от конденсаторов, всё пространство между обкладками конденсатора С₁ заполняют диэлектриком с проницаемостью ε = 3. Какую работу при этом совершит источник. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение. Работу которую совершит источник, если его не отключать от конденсаторов, при изменении электроемкости конденсатора С₁ определим по формуле:

\[ A=U\cdot \Delta q\ \ \ (1),\ U=E,\ \Delta q={{q}_{2}}-{{q}_{1}}\ \ \ (2),\ {{q}_{2}}=U\cdot {{C}_{22}}\ \ \ (3),\ {{q}_{1}}=U\cdot {{C}_{11}}\ \ \ (4). \]

Где: q₁ – заряд на последовательно соединённых воздушных конденсаторов до заполнения диэлектриком, q₂ – заряд на последовательно соединённых воздушных конденсаторов после заполнения первого конденсатора диэлектриком. С₂₂ – электроемкость системы последовательно соединенных конденсаторов после заполнения первого конденсатора диэлектриком. С₁₁ - электроемкость системы последовательно соединенных конденсаторов до заполнения первого конденсатора диэлектриком.
Определим электроемкости конденсаторов.

\[ \begin{align}
  & \frac{1}{{{C}_{11}}}=\frac{1}{{{C}_{2}}}+\frac{1}{{{C}_{1}}},\ {{C}_{1}}={{C}_{2}},\ {{C}_{11}}=\frac{{{C}_{1}}}{2}\ \ \ (5),\ {{C}_{1}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}\ \ \ (6),\ {{C}_{12}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}\ \ \ (7),\  \\
 & \frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{12}}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}\cdot \frac{d}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S},\ \frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{12}}}=\frac{1}{\varepsilon },\ {{C}_{12}}=\varepsilon \cdot {{C}_{1}}\ \ \ (8\ \ ). \\
 & \frac{1}{{{C}_{22}}}=\frac{1}{{{C}_{1}}}+\frac{1}{{{C}_{12}}},\ {{C}_{22}}=\frac{{{C}_{1}}\cdot {{C}_{12}}}{{{C}_{1}}+{{C}_{12}}},\ {{C}_{22}}=\frac{{{C}_{1}}\cdot \varepsilon \cdot {{C}_{1}}}{{{C}_{1}}+\varepsilon \cdot {{C}_{1}}},\ {{C}_{22}}={{C}_{1}}\cdot \frac{\varepsilon }{1+\varepsilon }\ \ \ (9). \\
\end{align} \]

С₁₂ – электроемкость конденсатора после заполнения первого конденсатора диэлектриком. Определим работу:

\[ \begin{align}
  & A=U\cdot ({{q}_{2}}-{{q}_{1}}),\ A=U\cdot (U\cdot {{C}_{1}}\cdot \frac{\varepsilon }{1+\varepsilon }-U\cdot {{C}_{1}}\cdot \frac{1}{2}),\ A={{U}^{2}}\cdot {{C}_{1}}(\cdot \frac{\varepsilon }{1+\varepsilon }-\frac{1}{2}). \\
 & A={{10}^{2}}\cdot 40\cdot {{10}^{-6}}\cdot (\frac{3}{1+3}-\frac{1}{2})={{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]

Ответ: А = 10^-3 Дж.