Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону

[Антон Огурцевич]

1. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r(вектор) = 4*t*i(вектор)-(10*t²-4)*j(вектор). Найдите уравнение траектории движения точки. Определите перемещение и модуль перемещения материальной точки за промежуток времени от t₁ = 2 c до t₂ = 5 c. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: радиус – вектор изменяется по закону и по условию
\[ \begin{align}
  & \vec{r}=x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}, \\
 & \vec{r}=4t\cdot \vec{i}+(10\cdot {{t}^{2}}-4)\cdot \vec{j}. \\
\end{align} \]
Сравнив, определим зависимость координат от времени
\[ x=4\cdot t,\text{     }y=10\cdot {{t}^{2}}-4. \]
Исключив время, найдём уравнение траектории
\[ t=\frac{x}{4},\text{     }y=10\cdot {{\left( \frac{x}{4} \right)}^{2}}-4,\text{        }y=\frac{10}{16}\cdot {{x}^{2}}-4. \]
Графиком является парабола (см. рис.). Изобразим вектор перемещения на координатной плоскости, определив координаты материальной точки в заданные моменты времени:
\[ {{x}_{1}}=4\cdot 2=8,\text{     }{{y}_{1}}=10\cdot {{2}^{2}}-4=36,\text{     }{{x}_{2}}=4\cdot 5=20,\text{     }{{y}_{2}}=10\cdot {{5}^{2}}-4=246. \]
Как видно из рисунка, модуль перемещения
\[ \Delta r=\sqrt{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right)}^{2}}},\Delta r=\sqrt{{{12}^{2}}+{{210}^{2}}}=210,34 \]