Решение: поверхность гладкая – трения нет, катушка проскальзывает, вращаясь против часовой стрелки. На неё действуют три силы: mg – сила тяжести, N – сила реакции опоры, T – сила натяжения нити. Сделаем рисунок, выберем систему отсчёта: ось x вдоль плоскости вниз (вторая ось необязательна). Запишем второй закон Ньютона в проекции на выбранную ось x:
\[ m\cdot a=mg\cdot \sin \alpha -T. \]
Вращение катушки вызывает только один момент - момент силы натяжения нити. Момент M равен произведению силы T на плечо r, плечо – кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения (центр катушки). Запишем динамическое уравнение для вращательного движения:
\[ I\cdot \varepsilon =M,\text{ }I\cdot \frac{a}{r}=T\cdot r, \]
Здесь учли связь между линейным ускорением a и угловым ускорением ε. Составим систему уравнений
\[ \left\{ \begin{align}
& T=mg\cdot \sin \alpha -m\cdot a, \\
& T\cdot {{r}^{2}}=I\cdot a. \\
\end{align} \right. \]
Разделив уравнения, избавимся от силы натяжения и выразим ускорение
\[ \frac{1}{{{r}^{2}}}=\frac{mg\cdot \sin \alpha -m\cdot a}{I\cdot a}, \]
\[ I\cdot a={{r}^{2}}\cdot mg\cdot \sin \alpha -{{r}^{2}}\cdot m\cdot a, \]
\[ \left( I+{{r}^{2}}\cdot m \right)\cdot a={{r}^{2}}\cdot mg\cdot \sin \alpha , \]
\[ a=\frac{{{r}^{2}}\cdot mg\cdot \sin \alpha }{I+{{r}^{2}}\cdot m}. \]
\[ a=\frac{{{0,03}^{2}}\cdot 0,2\cdot 9,8\cdot \sin 30{}^\circ }{0,45\cdot {{10}^{-3}}+{{0,03}^{2}}\cdot 0,2}=1,4. \]
Ответ: 1,4 м/с2
