С какой угловой скоростью надо вращать прямой проводник?

[Антон Огурцевич]

3. С какой угловой скоростью надо вращать прямой проводник вокруг одного из его концов в однородном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной к силовым линиям поля, чтобы в проводнике возникла ЭДС, равная 0,3 В? Длина проводника 20 см. Напряжённость магнитного поля 2000 Э (Эрстед). Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: при вращении проводника в нём возникает ЭДС индукции, модуль которой (закон электромагнитной индукции):
\[ {{E}_{i}}=\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{B\cdot \Delta S}{\Delta t}, \]
где ΔS – площадь, которую «прочерчивает» проводник за время Δt. Пусть проводник сделает один оборот. В этом случае ΔS равно площади круга, радиусом l, а время равно периоду вращения T, т.е.

ΔS = π∙l²  и  Δt = T.

Подставим в закон электромагнитной индукции и учтём, что угловая скорость вращения ω = 2π/T
\[ {{E}_{i}}=\frac{B\cdot \pi \cdot {{l}^{2}}}{T}=\frac{2\pi }{T}\cdot \frac{B\cdot {{l}^{2}}}{2}=\frac{\omega \cdot B\cdot {{l}^{2}}}{2}. \]
Так как в условии нет специальных оговорок, то считаем, что проводник в вакууме, тогда индукция магнитного поля B связана с напряженностью магнитного поля H следующим образом
\[ B={{\mu }_{0}}\cdot H, \]
где μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м - магнитная постоянная, тогда искомая угловая скорость
\[ \omega =\frac{2{{E}_{i}}}{B\cdot {{l}^{2}}}=\frac{2{{E}_{i}}}{{{\mu }_{0}}\cdot H\cdot {{l}^{2}}}. \]
При расчёте учтём что в системе СГС напряжённость магнитного поля измеряется в эрстедах (Э), в системе СИ — в амперах на метр (А/м).
1 Э = 1000/(4π) А/м, тогда
\[ \omega =\frac{2\cdot 0,3}{4\pi \cdot {{10}^{-7}}\cdot \frac{2000\cdot 1000}{4\pi }\cdot {{0,2}^{2}}}=75. \]
Ответ: 75 рад/с.