Два одинаковых заряженных шарика

[Антон Огурцевич]

Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на некоторый угол. Шарики погружаются в масло. Какова плотность масла, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло остался неизменным? Плотность материала шариков 1,5×10³ кг /м³, диэлектрическая проницаемость масла 2,2. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: Т.к. шарики одинаковые, то рассмотрим силы только на один, и рисунок удобнее для одного (второй зеркально расположен). В первом случае на шарик действуют силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, T₁ – сила натяжения нити, направленная вдоль нити, F₁ – кулоновская сила отталкивания шариков (см. рис). Шарик находится в равновесии, это означает, что сумма всех сил, действующих на него равна нулю
\[ {{\vec{T}}_{1}}+m\vec{g}+{{\vec{F}}_{1}}=0. \]
Спроецируем условие равновесия на выбранную систему координат:
\[ \begin{align}
  & x:\text{      }-{{T}_{1}}\cdot \sin \alpha +{{F}_{1}}=0,\text{            }{{T}_{1}}\cdot \sin \alpha ={{F}_{1}}, \\
 & y:\text{       }{{T}_{1}}\cdot \cos \alpha -mg=0,\text{           }{{T}_{1}}\cdot \cos \alpha =mg. \\
\end{align} \]
Воспользуемся законом Кулона, подставим F₁ и разделим уравнения:
\[ {{F}_{1}}=\frac{{{q}^{2}}}{4\pi \cdot {{\varepsilon }_{1}}\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}},\text{             }\operatorname{tg}\alpha =\frac{{{q}^{2}}}{4\pi \cdot {{\varepsilon }_{1}}\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}\cdot mg}. \]
Здесь q – заряд шариков, r – расстояние между ними, ε₀=8,85•10^-12 Ф/м – электрическая постоянная, ε₁ = 1 – шарики в воздухе.
Во втором случае на шарик действуют силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз, T₂ – сила натяжения нити, направленная вдоль нити, F₂ – кулоновская сила отталкивания шариков, и F_a – сила Архимеда (выталкивающая сила) (см. рис). Угол не изменился, следовательно, не изменилось и расстояние между шариками. Шарик находится в рав-новесии, это означает, что сумма всех сил, действующих на него равна нулю
\[ [i]\vec{T}+m\vec{g}+{{\vec{F}}_{2}}+{{\vec{F}}_{a}}=0.[/i] \]
Спроецируем условие равновесия на выбранную систему координат:
\[ \begin{align}
  & x:\text{      }-{{T}_{2}}\cdot \sin \alpha +{{F}_{2}}=0,\text{                   }{{T}_{2}}\cdot \sin \alpha ={{F}_{1}}, \\
 & y:\text{       }{{T}_{2}}\cdot \cos \alpha +{{F}_{a}}-mg=0,\text{           }{{T}_{2}}\cdot \cos \alpha =mg-{{F}_{a}}. \\
\end{align} \]
Воспользуемся законом Кулона и законом Архимеда, подставим F₂ и F_a и разделим уравнения:
\[ \begin{align}
  & {{F}_{2}}=\frac{{{q}^{2}}}{4\pi \cdot {{\varepsilon }_{2}}\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}},\text{                }{{F}_{a}}={{\rho }_{m}}\cdot g\cdot V={{\rho }_{m}}\cdot g\cdot \frac{m}{\rho }\text{,} \\
 & \operatorname{tg}\alpha =\frac{{{q}^{2}}}{4\pi \cdot {{\varepsilon }_{2}}\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}\cdot mg\cdot \left( 1-\frac{{{\rho }_{m}}}{\rho } \right)}. \\
\end{align} \]
Здесь ε₂ = 2,2 – шарики в масле, ρ – плотность материала шариков, ρ_m – искомая плотность масла. Приравняв выражения для тангенсов, определим плотность масла
\[ \frac{{{q}^{2}}}{4\pi \cdot {{\varepsilon }_{1}}\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}\cdot mg}=\frac{{{q}^{2}}}{4\pi \cdot {{\varepsilon }_{2}}\cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}\cdot mg\cdot \left( 1-\frac{{{\rho }_{m}}}{\rho } \right)} \]
\[ \frac{1}{1}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{2}}\cdot \left( 1-\frac{{{\rho }_{m}}}{\rho } \right)},\text{      }1-\frac{{{\rho }_{m}}}{\rho }=\frac{1}{{{\varepsilon }_{2}}}\text{,       }\frac{{{\rho }_{m}}}{\rho }=1-\frac{1}{{{\varepsilon }_{2}}},\text{       }{{\rho }_{m}}=\rho \left( 1-\frac{1}{{{\varepsilon }_{2}}} \right). \]
\[ {{\rho }_{m}}=1,5\cdot {{10}^{3}}\left( 1-\frac{1}{2,2} \right)=818,2. \]
Ответ: 818,2 кг/м³