Найти модуль ускорения шарика в крайнем положении

[Антон Огурцевич]

Задача. Подвешенный на нити шарик качается в вертикальной плоскости так, что его ускорение в нижнем положении а = 4 м/с². Найти модуль ускорения шарика в крайнем положении. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: на шарик в верхней точке траектории действует две силы: mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз и T – сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Ускорение тела при движении по дуге окружности можно разложить на два слагаемых:
\[ \vec{a}={{\vec{a}}_{\tau }}+{{\vec{a}}_{n}}. \]
Тангенциальное ускорение a_τ —  направлено по касательной к траектории   и характеризует изменение скорости по модулю. Центростремительное или нормальное ускорение  a_n — возникает  всегда при движении точки по дуге окружности конечного радиуса, характеризует изменение скорости по направлению и направлено перпендикулярно вектору мгновенной скорости (к центру окружности).
В нижней точке траектории у тела только центростремительное ускорение, т.е.
\[ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{l},\text{          }(1) \]
Где l – длина нити. В верхней точке траектории скорость тела равна нулю (υ = 0), тогда центростремительное ускорение тела тоже равно нулю.
\[ {{a}_{n}}=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{l}=0. \]
Тогда ускорение  шарика в верхней точке равно тангенциальному:

a₁ = a_τ.

Ось z направим по касательной к траектории. Запишем второй закон Ньютона в векторном виде и спроецируем его на выбранную координатную ось.
\[ \vec{T}+m\vec{g}=m\cdot {{\vec{a}}_{1}},\text{        }mg\cdot \sin \alpha =m\cdot {{a}_{\tau }},\text{           }{{a}_{1}}={{a}_{\tau }}=g\cdot \sin \alpha . \]
Остаётся определить угол отклонения α нити от вертикали в верхнем положении. Для этого запишем закон сохранения энергии (за нулевой уровень потенциальной энергии примем нижнее положение шарика), тогда в нижней точке – только кинетическая энергия, в верхней точке – только потенциальная. Как видно из рисунка, высота подъёма шарика равна
\[ h=l-l\cdot \cos \alpha =l\cdot \left( 1-\cos \alpha  \right). \]
Тогда
\[ \begin{align}
  & {{E}_{0}}={{E}_{1}},\text{       }\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=m\cdot g\cdot h,\text{       } \\
 & \text{   }\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2}=g\cdot l\cdot \left( 1-\cos \alpha  \right),\text{    }\frac{{{\upsilon }^{2}}}{2\cdot g\cdot l}=1-\cos \alpha  \\
\end{align} \]
Таким образом, с учётом (1), получим (используя основное тригонометрическое тождество)
\[ 1-\cos \alpha =\frac{1}{2\cdot g}\cdot \frac{{{\upsilon }^{2}}}{l},\cos \alpha =1-\frac{a}{2\cdot g},\sin \alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-{{\left( 1-\frac{a}{2\cdot g} \right)}^{2}}}. \]
Искомое ускорение
\[ {{a}_{1}}=g\cdot \sin \alpha =g\cdot \sqrt{1-{{\left( 1-\frac{a}{2\cdot g} \right)}^{2}}}. \]
\[ {{a}_{1}}=9,8\cdot \sqrt{1-{{\left( 1-\frac{4}{2\cdot 9,8} \right)}^{2}}}=5,9. \]
Ответ: a = 5,9 м/с²