Найти отношение потоков частиц в сечениях пучка

[Антон Огурцевич]

Имеется узкий пучок п-мезонов с кинетической энергией Т, равной энергии покоя данных частиц. Найти отношение потоков частиц в сечениях пучка, отстоящих друг от друга на l = 20 м. Собственное среднее время жизни этих мезонов т0=25,5 не. Сделать рисунок.

[Виктор]

Решение: большинство элементарных частиц неустойчивы, т. е. самопроизвольно (спонтанно) распадаются на более лёгкие частицы. Распад проис-ходит по экспоненциальному закону
\[ N\left( t \right)={{N}_{0}}\cdot {{e}^{-\frac{t}{\tau }}},  \]
где N (t) - число частиц в момент времени t, N₀ - в начальный момент времени. По такому же закону происходит распад радиоактивных ядер. τ - время жизни частиц, т.е. это время, за которое число распадающихся частиц уменьшается в е = 2,718 раз (е - основание натуральных логарифмов). Поток частиц подчиняется этому же закону – пока частицы пролетят 20 м, часть из них распадётся. Причём скорость частиц достаточно высока, т.к. кинетическая энергия Т, равна энергии покоя E₀=m•c². Относительно неподвижной системы отсчёта время жизни частиц возрастёт (релятивистский эффект замедления времени), т.е.
\[ \tau =\gamma \cdot {{\tau }_{0}}. \]
Здесь γ – релятивистский коэффициент, который связан со скоростью движения частицы следующим образом:
\[ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}}, \]
Здесь c = 3•10⁸ м/с – скорость света
Таким образом, скорость движения частицы:
\[ 1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}=\frac{1}{{{\gamma }^{2}}},\text{          }\upsilon =c\cdot \sqrt{1-\frac{1}{{{\gamma }^{2}}}}=\frac{c}{\gamma }\cdot \sqrt{{{\gamma }^{2}}-1}. \]
Воспользуемся релятивистским законом сохранения энергии (полная энергия тела равна сумме энергии покоя и кинетической энергии), и определим γ:
\[ E={{E}_{0}}+T,\text{        }\gamma \cdot {{E}_{0}}={{E}_{0}}+{{E}_{0}},\text{   }\gamma \cdot {{E}_{0}}=2\cdot {{E}_{0}},\text{    }\gamma =2. \]
Путь в l = 20 м, частицы пролетят за время
\[ t=\frac{l}{\upsilon }=\frac{l\cdot \gamma }{c\cdot \sqrt{{{\gamma }^{2}}-1}}. \]
Таким образом, отношение потоков частиц в сечениях пучка (оно же отношение числа частиц)
\[ \frac{N\left( t \right)}{{{N}_{0}}}={{e}^{-\frac{t}{\tau }}}={{e}^{-\frac{t}{\gamma \cdot {{\tau }_{0}}}}}={{e}^{-\frac{l\cdot \gamma }{\gamma \cdot {{\tau }_{0}}\cdot c\cdot \sqrt{{{\gamma }^{2}}-1}}}}={{e}^{-\frac{l}{{{\tau }_{0}}\cdot c\cdot \sqrt{{{\gamma }^{2}}-1}}}}. \]
\[ \frac{N\left( t \right)}{{{N}_{0}}}={{e}^{-\frac{20}{25,5\cdot {{10}^{-9}}\cdot 3\cdot {{10}^{8}}\cdot \sqrt{{{2}^{2}}-1}}}}={{e}^{-1,5}}=0,22. \]
Ответ: 0,22.