В идеальном колебательном контуре

[Антон Огурцевич]

В идеальном колебательном контуре в начальный момент времени ток равен нулю, а заряд имеет максимальное значение, равное q_m. Через какую долю периода, начиная от начального значения, энергия в контуре распределится поровну между катушкой и конденсатором? Сделать рисунок.

[Эдуард]

Решение
Зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени описывается уравнениями:
\[ q(t)={{q}_{max}}sin(\omega t+{{\varphi }_{0}})  или   q(t)={{q}_{max}}cos(\omega t+{{\varphi }_{0}}), \]
где q_max — максимальное значение заряда (амплитуда заряда); φ — фаза колебаний, φ = ωt + φ₀; φ₀ — начальная фаза колебаний.
Если колебания начинаются при полностью заряженном конденсаторе (в начальный момент времени заряд конденсатора максимален), то для описания колебаний заряда выбирают формулу:
\[ q={{q}_{max}}cos\omega t.(1) \]
При электромагнитных гармонических колебаниях, возникающих в идеальном колебательном контуре, полная электромагнитная энергия контура сохраняется (остается постоянной).
Полная электромагнитная энергия идеального колебательного контура складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки индуктивности:

E = W_C + W_L ,(2)

где W_C  — энергия электрического поля конденсатора, W_C =  q²/2C; W_L  — энергия магнитного поля катушки, W_L = LI²/2; C — электрическая емкость конденсатора; U — напряжение (разность потенциалов) между обкладками конденсатора; q — заряд на обкладках конденсатора; L — индуктивность катушки; I — сила тока в катушке.
При гармонических электромагнитных колебаниях локализация электромагнитной энергии изменяется с течением времени, поэтому целесообразно рассмотреть энергию контура в трех состояниях:
1) при полностью заряженном конденсаторе заряд на обкладках конденсатора имеет максимальное значение q max, поэтому энергия электрического поля также максимальна:
\[ W_{max}^{С}=\frac{{{q}_{\max }}^{2}}{2C}.(3) \]
энергия магнитного поля катушки равна нулю, так как ток в катушке отсутствует; полная энергия совпадает с максимальной энергией электрического поля конденсатора:
\[ E=W_{max}^{С}. \]
2) в промежуточном состоянии электромагнитная энергия контура частично локализована в конденсаторе (в виде электрической энергии), а частично — в катушке (в виде магнитной энергии), т.е. обкладки конденсатора имеют некоторый заряд q, а в катушке течет ток силой I, поэтому полная энергия представляет собой сумму
\[ E=\frac{{{q}^{2}}}{2C}+\frac{L{{I}^{2}}}{2}.(4) \]
По условию в нужный нам момент - энергия в контуре распределится поровну между катушкой и конденсатором: \[ \frac{{{q}^{2}}}{2C}=\frac{L{{I}^{2}}}{2} \]
Закон сохранения полной механической энергии имеет вид:
\[ \begin{align}
  & \frac{{{q}_{\max }}^{2}}{2C}=\frac{{{q}^{2}}}{2C}+\frac{L{{I}^{2}}}{2}; \\
 & \frac{{{q}_{\max }}^{2}}{2C}=2\frac{{{q}^{2}}}{2C}\Rightarrow {{q}_{\max }}^{2}=2{{q}^{2}}\Rightarrow {{q}_{\max }}=\sqrt{2}q.(5) \\
\end{align}  \]
Для нахождения нужного нам момента времени подставляем (5) в (1)
\[ \begin{align}
  & q={{q}_{max}}cos\omega t\Rightarrow q=\sqrt{2}qcos\omega t\Rightarrow  \\
 & \frac{q}{\sqrt{2}q}=cos\omega t\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=cos\omega t\Rightarrow \omega t=\arccos (\frac{1}{\sqrt{2}})\Rightarrow \omega t=\arccos (\frac{1\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}})\Rightarrow \omega t=\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})\Rightarrow  \\
 & \omega t=\frac{\pi }{4}\Rightarrow \frac{2\pi }{T}t=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=\frac{T}{8}. \\
\end{align}
  \]
Ответ: T/8.