Трёхгранная призма с преломляющим углом

[Антон Огурцевич]

4. Трёхгранная призма с преломляющим углом 60^о даёт угол наименьшего отклонения в воздухе 37^о. Какой угол наименьшего отклонения даст эта призма в воде? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Угол наименьшего отклонения наблюдается в случае равенства угла падения луча на боковую грань призмы и угла преломления при выходе луча из призмы.

α = β₂   (1).

  Определим угол падения луча на боковую поверхность призмы в случае когда призма находится в воздухе и показатель преломления материала призмы, когда призма находится в воздухе, обсалютный показатель преломления воздуха n = 1. Рассмотрим треугольник АОС. Угол ОАС равен α – β₁, угол АОС равен 180º - Θ, угол ОСА равен β₂ = α – α₂. Сумма всех углов треугольника равна 180º.

α – β₁ + 180º - Θ + α – α₂ = 180º, 2∙α - β₁  – α₂ = Θ,
2∙α - Θ = β₁  + α₂   (2).

Рассмотрим треугольник АВС. Угол САВ равен 90º – β₁, угол ВСА 90º – α₂. Сумма всех углов треугольника равна 180º.

90º – β₁ + 90º  – α₂ + ϕ = 180º,  β₁  + α₂ = ϕ     (3).

\[ \begin{align}
  & \alpha =\frac{\theta +{{\beta }_{1}}+{{\alpha }_{2}}}{2},\alpha =\frac{\theta +\varphi }{2}(5),\alpha =\frac{37+60}{2}=48,5. \\
 & \frac{\sin \alpha }{\sin {{\beta }_{1}}}=\frac{{{n}_{2}}}{n},\sin {{\beta }_{1}}=\frac{1}{{{n}_{2}}}\cdot \sin \alpha (6),\frac{\sin {{\alpha }_{2}}}{\sin \alpha }=\frac{n}{{{n}_{2}}},\sin {{\alpha }_{2}}=\frac{1}{{{n}_{2}}}\cdot \sin \alpha (7), \\
 & {{\beta }_{1}}={{\alpha }_{2}}(8).{{\beta }_{1}}+{{\alpha }_{2}}=\varphi ,{{\beta }_{1}}=\frac{\varphi }{2},{{\beta }_{1}}=30. \\
 & {{n}_{2}}=\frac{\sin 48,5}{\sin 30}=\frac{0,7537}{0,5}=1,5. \\
\end{align} \]

Призму поместили в воду, определим угол наименьшего отклонения призмы в воде.
Для решения задачи необходим абсолютный показатель преломления воды, n₁ = 1,33. Запишем закон преломления при падении луча на боковую поверхность, определим угол падения луча на боковую поверхность призмы в случае когда призма находится в воде. Учитываем, что в случае наименьшего отклонения α = β₂ и β₁  = α₂ = 30°. 

\[ \begin{align}
  & \frac{\sin \alpha }{\sin {{\beta }_{1}}}=\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}(8). \\
 & \sin \alpha =\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}\cdot \sin {{\beta }_{1}},\sin \alpha =\frac{1,5}{1,33}\cdot 0,5=0,5639,\alpha =34,32. \\
\end{align} \]

Из выражения (2) определим угол наименьшего отклонения призмы в воде.
2∙α - 2∙β₁ = Θ, Θ = 2∙(34,32º – 30º) = 8,64°.
Ответ: 8,64°.